人教版数学八年级上册 轴对称填空选择专题练习（解析版）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.
【答案】234. 【解析】 【分析】
将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可. 【详解】
将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP， ∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6， ∵等边△ABC， ∴∠ACP+∠PCB=60°，
∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°， ∴△ECP为等边三角形， ∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6， ∴∠DEB=90°，
∵∠APC=150°，∠APD=30°， ∴∠DPC=120°，
∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线， ∴ED=3+7=10，
∴BD=DE2?BE2=234.
故答案为234. 【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BD，DC的长度比为3：2，且BC＝20cm，则点D到AB的距离是_____cm． 【答案】8 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知DE＝CD，根据角平分线AD分对边BC为BD：DC＝3：2，且BC＝10cm即可得出结论． 【详解】
解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD．
∵BD：DC＝3：2，且BC＝10cm，
2＝8（cm）． 5故答案为：8．
∴CD＝20×
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
3．如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．
【答案】8 【解析】 【分析】
作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，易证E点和E’点重合，则∠FGD=∠DEP=90°；由
∠EDB+∠PDF=90°可知∠EDP+∠GFD=90°，则易得∠EPD=∠GDF，再由PD=DF易证△EPD≌△GDF，则可得FG=DE，故F点的运动轨迹为平行于BC的线段，据此可进行求解. 【详解】
解：作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，由BD=4、BE=2与∠B=60°可知DE⊥AB，即∠
∵DE’⊥AB，∠B=60°， ∴BE’=BD×
1=2， 2∴E点和E’点重合， ∴∠EDB=30°， ∴∠EDB+∠PDF=90°，
∴∠EDP+∠GFD=90°=∠EDP+∠DPE， ∴∠DPE=∠GFD
∵∠DEP=∠FGD=90°，FD=GP， ∴△EPD≌△GDF， ∴FG=DE，DG=PE，
∴F点运动的路径与G点运动的路径平行，即与BC平行， 由图可知，当P点在E点时，G点与D点重合， ∵DG=PE，
∴F点运动的距离与P点运动的距离相同， ∴F点运动的路径长为：AB-BE=10-2=8， 故答案为8. 【点睛】
通过构造垂直线段构造三角形全等，从而确定F点运动的路径，本题有一些难度.
4．如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是_____．
【答案】5 【解析】 【分析】
作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，由等边对等角得到∠CAB＝∠CBA＝50°，再推出∠DAB＝∠DBA，得到AD＝BD，然后可证△ACD≌△BCD，最后证△ACD≌△AOD，即可得AO＝AC＝5． 【详解】
解：如图，作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，
∵AC＝BC＝5， ∴∠CAB＝∠CBA＝50°， ∵∠OAB＝10°，
11(?CAB??OAB)＝50??10?＝20°， 22∵∠DAB＝∠OAD+∠OAB＝20°+10°＝30°， ∴∠DAB＝30°＝∠DBA， ∴AD＝BD，∠ADB＝120°， 在△ACD与△BCD中
∴∠CAD＝∠OAD＝
???AC?BC?
?AD?BD ?CD?CD?
∴△ACD≌△BCD（SSS） ∴∠CDA＝∠CDB， ∴∠CDA＝∠CDB＝
11360???ADB＝360??120?＝120°， 22????在△ACD与△AOD中
??CDA??ADO?120?? ?AD?AD??CAD??OAD?∴△ACD≌△AOD（ASA） ∴AO＝AC=5， 故答案为5． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.
5．在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，∠C＜90°，若∠B满足条件：______________，则△ABC≌△DEF． 【答案】∠B≥∠A．
【解析】 【分析】
虽然题目中∠B为锐角,但是需要对∠B进行分类探究会理解更深入：可按“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行，最后得出∠B、∠E都是锐角时两三角形全等的条件． 【详解】
解：需分三种情况讨论： 第一种情况：当∠B是直角时：
如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，可知：△ABC与△DEF一定全等，依据的判定方法是HL；
第二种情况：当∠B是钝角时：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H． ∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角． ∴180°-∠B=180°-∠E， 即∠CBG=∠FEH． 在△CBG和△FEH中，
??CBG＝?FEH? ??G＝?H?BC＝EF?∴△CBG≌△FEH（AAS）， ∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
?AC＝DF??CG＝FH∴∠A=∠D，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）， 在△ABC和△DEF中，
??A＝?D???B＝?E?AC＝DF?，
∴△ABC≌△DEF（AAS）； 第三种情况：当∠B是锐角时：
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，小明在△ABC中（如图③）以点C为圆心，以AC长为半径画弧交AB于点D，假设E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC符号已知条件，但是△AEF与△ABC一定不全等， 所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等； 由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD， ∴∠A＞∠B，
∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，
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