第十三讲概率初步
日常生活中，我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情， 比如抛掷一枚硬币出
现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件， 它们的结果都有不确定性，是无法预知的.
尽管无法预知结果，但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性 的大小，例如：
今天乌云密布，那么明天很有可能下雨； 中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小； 一次投掷10枚硬币，出现10个正面的可能性非常小.
为了能够更准确的描述这种 “可能性的大小”，法国数学家费马和帕斯卡在 17世纪 创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学.
上的两个热点问题一一掷骰子问题和比赛奖金分配问题）
（当时他们通过信件讨论了社会
概率基本概念
概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，
例如：投掷一枚硬币，正面和反面出
现的可能性相同，所以概率均为
12 以概率均为-?
6
丄；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所
冷
1
|概率是0~1之间用来表示事件可能性大小的一个数值.
关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷 面，而是说每次扔都有
虽然投掷2次硬币，不见得正面会出现一半， 例越接近一半（例如无论谁投掷 个特点在概率论中被称为大数定律）
换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性.基于此，在 创始的年代，人们提出了古典概率模型.
1枚硬币，正面出现的概率为 -，并
1 2 不是说投掷2次一定会有1次正
2
可能性出现正面.
但是，投掷次数越多，正面出现的比
1
10000次硬币，正面出现的比例都会很接近 0.5）.（这
17世纪概率刚
古典概率模型
古典概率模型是最简单的概率计算模型， 总量”除以“全部情况数量”即可.
它的想法非常简单，用“条件要求的情况
某一随机事件发生的概率它所部等可等可况的况数量
1
2反”但概率都不是 -，因为这3种结果出现的可能性不同，给硬币编上
3
A和B,那
么出现1正1反有两种情况“A正B反、A反B正”而2正和2反都只有1种情况（投 掷2枚硬币共
4种情况）.
而例6和例2是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可） 从这3个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果， 必须是“等可能”才行（例 4的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等） 计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例
因为结果 ?为了
4,假设红球是1号
到10号，白球是11号，那么显然共有11种不同取法，其中有10种取到红球，所以概 率是10 .
11
等可能
4.从10个红球、 5. 投掷两枚硬币,
1
反的概率是-.
1个白球中，随意的取出
1
1个球，取到红球的概率是
10 11 ? 1
—，出现2 2
3 10
出现 2个正面的概率是 -，出现1正1反的概率是
4
4
6. 从3个红球、 2个白球中，随意取出 2个球，取到2个红球的概率是 -.
例4比较简单，在例5中，从硬币的结果看，只有3种情况一一“2正、1正1反、
例题1. 4个男生、2个女生随机站成一排照相， 请问：（1）女生恰好站在一起的概率是多少?
（2）女生互不相邻的概率是多少？（ 3）男生互不相邻的概率是多少？ 「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？
练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问： 在正中间的概率是多少？
（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？
（1）关羽站
（ 3）关羽和张飞中间恰
好隔着一个人的概率是多少？
例题2. 一个不透明的袋子里装着 2个红球，3个黄球和4个黑球?从口袋中任取一个球， 请问：（1）这
个球是红球的概率是多少？（
2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多
少？ （ 3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？ 「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数.
练习2、北京数学学校从集训队中随机选出 3个人去参加比赛，已知集训队中共有 4 个男生、3个女生，请问：（1）选出3个男生的概率是多少？（ 概率是多少？
2）选出2男1女的
例题3. 一次投掷两个骰子，请问： （1）两个骰子点数相同的概率是多少？ （2）两个骰子点
数和为 5 的概率是多少？（ 3）两个骰子点数差是 1 的概率是多少？ 「分析」 骰子是一个正方体，每个面上的点数从 1 到 6，可以按题目要求枚举一些 情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案.
练习 3、一次投掷 3 枚硬币，请问： （1）出现 3 个正面的概率是多少？（ 2）出现 1 正 2 反的概率是多少？
例题 4. 两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各 1 个，现在从两个盒子中 各取一个球，
那么它们同色的概率是多少？不同色的概率是多少？
「分析」 任取两球它们颜色的可能情况有多少种？其中有多少同色情况？
练习 4、一个不透明的袋子里装着 2 个红球、3 个黄球和 4个黑球.从中任取两个球， 请问：取出
2个黑球的概率是多少？取出 1 红 1 黄的概率是多少？取出 1 黄 1 黑的 概率是多少？
概率的独立性
如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如：
A 买彩票是否中奖和 B 买彩票是否中奖是独立的； 甲考试能否及格和乙考试能
否及格是独立的； 如果两个随机事件相互独立， 那么它们同时发生的概率是它们单独发生 概率的乘积.
例题5. 神射手和神枪手两人打靶， 已知他们的命中率分别为 0.8 和 0.9，他们每人开一枪， 那么他们都
命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？ 「分析」 理解概率独立性，根据独立性解题即可.
需要分步计算的概率问题
有些随机事件，在发生时有先后顺序，这时在计算概率时需要分步计算， 这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各 2个，从中先取出1个球,
1
然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是 石，第二次抽 到黑球的概率是1，所以两次都抽到黑球的概率是1丄丄.
3
2 3
6
在分步拿球的问题中，大家还要注意“ 无放回拿球”和“有放回拿球” 的区别，它关系到每步的概率计算结果.例如：一个盒子中装有形状大小相?
同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后把它放回去，再从盒子中 111 取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是2 2 4.
例题6. 3个人进行抽签，已知3个签中只有一个写有“中奖”，3个人先后抽取，
那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？
「分析」分步计算概率即可.
需要分步计算的概率问题
有些随机事件， 在发生时有先后顺序， 这时在计算概率时需要分步计算，
这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各 2 个，从中先取出 1个球，
1
然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是 1 ，第二次抽
1
到黑球的概率是 1 ，所以两次都抽到黑球的概率是
3
1 1 1 2 1 1 1
．
2 3 6
例题6. 3个人进行抽签，已知 3个签中只有一个写有“中奖”，那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？
「分析」 分步计算概率即可．
3个人先后抽取，
高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲概率初步
