取BC的中点M，连接OM、ME.
在ABC中，O是AB的中点，M是BC的中点，
? OM ∥AC,AC?平面EMO ,MO?平面EMO ,故AC∥ 平面EMO
在直角梯形BCDE中， DECB，且DE?CM，
∴四边形MCDE是平行四边形，? EM ∥ CD ，同理 CD ∥平面EMO 又 CD ?AC=C,故平面EMO ∥平面ACD， 又
EO?平面EMO,? EO∥平面ACD.
AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的一点，
（2）
?AC?BC
又∵平面BCDE?平面ABC，平面BCDE?平面ABC?BC
?AC?平面BCDE，
可得AC是三棱锥A?BDE的高线. 在直角梯形BCDE中，S△BDE?11DE?CD??2?3?3. 2211S△ABD?h?S△EBD?AC 33设E到平面ABD的距离为h，则VE?ABD?VA?EBD，即由已知得AB?5,BD?5,AD?32， 由余弦定理易知：cos?ABD?161341 ，则S△ABD?AB?BDsin?ABD?2522解得h?641641 ，即点E到平面ABD的距离为4141641. 41故答案为：【点睛】
考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题. 18．（本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四
边形面积为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且
O为
坐标原点，当时，求t的取值范围．
【答案】（1）【解析】
；（2）．
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用离心率、
、四边形的面积
列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到
、
，利用
列出方程，解出，代入到椭圆上，得到的值，再利用，计算
出的范围，代入到的表达式中，得到t的取值范围．
试题解析：（1），，即．
又，．
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知，当直线MN斜率存在时， 设直线方程为
，
，
联立方程
因为直线与椭圆交于两点， 所以
消去y得，
恒成立，
，
又，
因为点P在椭圆
上，所以
，
即，
又，
即，整理得：，
化简得：，解得或（舍），
，即．
当直线MN的斜率不存在时，，此时，
．
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．
19．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为Sn”. （1）当p?q?1时，记??S3，求?的分布列及数学期望； 2（2）当p?1223，4?的概率. ，q?时，求S8?2且Si?0?i?1，，3380 2187【答案】（1）见解析，0（2）【解析】 【分析】
（1）??S3即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；
（2）当S8?2时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又Si?0(i?1,2,3,4),则第一题答
对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解. 【详解】
解:（1）?的取值可能为?3,?1,1,3,又因为p?q?1, 2?1?1?1?1故P(???3)????,P(??3)????, ?2?8?2?81?1?31?1?3P(???1)?C?????,P(??1)?C32?????,
2?2?82?2?8232233所以?的分布列为：
? P ?3 1 8?1 3 81 3 83 1 8所以E(?)?(?3)?1331?(?1)???3??0 8888（2）当S8?2时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题, 又已知Si?0(i?1,2,3,4),第一题答对,
若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；
若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，
?1?此时的概率为P?C?C????3??3635?580?2?30?880）. ????8?7（或
218733?3?3【点睛】
本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.
20．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?2BC?2AA1?4，E为A1D1的中点，N为BC的中点，M为线段C1D1上一点，且满足MC1?1D1C1，F为MC的中点. 4
（1）求证：EF//平面A1DC；
?F的余弦值. （2）求二面角N?AC1【答案】（1）证明见解析（2）?270 35【解析】 【分析】
（1）解法一： 作D1D的中点H，连接EH，FH.利用三角形的中位线证得EH//A1D，利用梯形中位线证得FH//CD，由此证得平面A1DC//平面EHF，进而证得EF//平面A1DC.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线EF的方向向量和平面A1DC的法向量垂直，证得EF//平面A1DC.
?F的余弦值. （2）利用平面A1CN和平面A1FC法向量，计算出二面角N?AC1【详解】
（1）法一：作D1D的中点H，连接EH，FH.又E为A1D1的中点，∴EH为?A1DD1的中位线，∴EH//A1D，又F为MC的中点，∴FH为梯形D1DCM的中位线，∴FH//CD，在平面A1DC中，
A1DCD?D，在平面EHF中，EH∴EF//平面A1DC.
FH?H，∴平面A1DC//平面EHF，又EF?平面EHF，
另解：（法二）∵在长方体ABCD?A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两互相垂直，建立空间直角坐标系
D?xyz如图所示，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，
C(0,4,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，
B1(2,4,2)，C1(0,4,2)，E(1,0,2)，
?7?N(1,4,0)，M(0,3,2)，F?0,,1?.
?2?（1）设平面A1DC的一个法向量为m?(x,y,z)，
??(x,y,z)?(?2,0,?2)?0?x?z?0?m?A1D?0????则?，
(x,y,z)?(?2,4,?2)?0x?2y?z?0m?AC?0???1?7??EF??1,,?1?， y?0.∴m?(1,0,?1)，又令x?1，则z??1，?2??∵EF?m?0，EF?m，又EF?平面A1DC，EF//平面A1DC.
天津市大港区2024届新高考数学一模试卷含解析
