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高考大题分层练
2.三角、数列、概率统计、立体几何(B组)
大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!
1.已知函数f(x)=cos
2
-,g(x)=sin.
(1)要得到y=f(x)的图象,只需把y=g(x)的图象经过怎样的变换?
(2)设h(x)=f(x)-g(x),求:①函数h(x)的最大值及对应的x的值;②函数h(x)的单调递增区间.
【解析】f(x)=-
=cos.
(1)因为f(x)=cos
=sin,
所以将y=g(x)的图象向左平移个单位得到y=f(x)的图象. (2)h(x)=f(x)-g(x)
=cos-sin
=cos=cos.
①h(x)max=.当2x+=2kπ(k∈Z),
即x=kπ-(k∈Z)时取最大值.
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②由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,
所以递增区间为(k∈Z).
2.已知数列{bn}为单调递增的等差数列,b3+b8=26,b5b6=168,设数列{an}满足 2a1+2a2+2a3+…+2an=(1)求数列{bn}的通项. (2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{bn}的公差为d, 因为数列{bn}为单调递增的等差数列,所以d>0.
2
3
n
.
由
得
所以bn=b1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2, 所以bn=2n+2. (2)
=2
2
2n+2
解得
=4,
3
n-1
n
n+1
由2a1+2a2+2a3+…+2an-1+2an=得2a1+2a2+2a3+…+2an-1=①-②得2an=4-4=3×4,n≥2, 所以an=3×2,n≥2.
nn
n+1
n
n
2
3
n-1
① ②
又因为a1==8不符合上式,
所以an=当n≥2时,
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Sn=8+3×(2+2+…+2)=8+3×因为S1=8符合上式, 所以Sn=3×2-4,n∈N.
n+1
*
23n
=3×2-4,
n+1
3.A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
A班 B班 C班 (1)试估计C班的学生人数.
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率. (3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)
【解析】(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法，C
6 6.5 7 7.5 8 6 7 8 9 10 11 12 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 班的学生人数估计为100×=40.
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i=1，2，…，5， 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j=1，2，…，8，
由题意可知，P(Ai)=，i=1，2，…，5；P(Cj)=， j=1，2，…，8.
P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=×=j=1，2，…，8.
，i=1，2，…，5，
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，
E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4， 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+
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P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×(3)μ1<μ0.
=.
4.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点. (1)求证：EF⊥平面PAD.
(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【解析】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， 所以AB⊥平面PAD，因为E，F为PA，PB的中点， 所以EF∥AB，所以EF⊥平面PAD. (2)过P作AD的垂线，垂足为O，
因为平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD. 取AO中点M，连接OG，EO，EM， 因为EF∥AB∥OG，
所以OG即为平面EFG与平面ABCD的交线 又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD，且OG⊥AO， 故OG⊥EO，所以∠EOM即为所求. 在Rt△EOM中，EM=所以tan∠EOM=
，OM=1， ，故∠EOM=60°，
所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°.
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2020届高三数学二轮复习高考大题分层练2三角数列概率统计立体几何(B组)理新人教版
