20．（本小题满分12分）
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，以F1F2为直径的圆与直线
abax?2by?3ab?0相切.
（1）求椭圆C的离心率；
l（2）如图，过F1作直线与椭圆分别交于两点 P,Q，若?PQF2的周长为42，求F2P?F2Q
的最大值.
21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?lnx?11?，a?R且a?0. axa（1）讨论函数f(x)的单调性；
x（2）当x?[,e]时，试判断函数g(x)?(lnx?1)e?x?m的零点个数.
1e
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）（选修4一4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1,0)，倾斜角为?，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是?=8cos?.
1?cos2?（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若??
23．（本小题满分10分）（选修4一5：不等式选讲）
?4，设直线l与曲线C交于A,B两点，求?AOB的面积.
设函数f(x)?x?3，g(x)?2x?1. （1）解不等式f(x)?g(x)；
（2）若2f(x)?g(x)?ax?4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围.
数学（理科）参考答案
一、选择题
题号 答案
二、填空题
1[源:Z+xx+k.Com] 来2 D 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10 D 11 C 12 A A ;13. -1; 14. ?0,?; 15. 16. y??x. 352?2?
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（1）??5?1210?a2?a5?2a1?5d?25?a1?5,，求得??an?3n?2................6分
?d?3,?S5?5a3?5a1?10d?5511111??(?)................8分
an(3n?1)(3n?1)(3n?2)33n?13n?2 （2）bn?1111111111Tn?b1?b2??bn?(???????)?(?),
325583n?13n?2323n?2?Tn?18.解析：（1）由题意
11n??................12分 69n?62(3n?2)105?107?113?115?119?126?(120?x)?132?134?141?122，
10解得x?8；...............4分 （2）随机变量?的所有取值有0,1,2,3,4.
22112C7C6C7CC791p(??0)?22?; p(??1)?2326?;
C10C1045C10C102252221111C32C6?C7C4?C7C3C6C41p(??2)??;22C10C103111122C32C6C4?C7C3C4C32C4222p(??3)??;p(??4)??;...............9分 2222C10C10225C10C10225
??的分布列为：
? 0 1 2 3 4 P
745 91225 13 22225 2225 E(?)?0?
79112227?1??2??3??4??...............12分 452253225225519.（1）证明：连接DE，由题意知AD?4,BD?2,
?AC2?BC2?AB2,??ACB?90?.cos?ABC?233?. 63?CD2?22?12?2?2?23cos?ABC?8. ?CD?22.
?CD2?AD2?AC2,则CD?AB,...............2分
又因为平面PAB?平面ABC，所以CD?平面PAB,?CD?PD, 因为PD?AC，AC,CD都在平面ABC内， 所以PD?平面ABC ；...............4分
（2）由（1）知PD,CD,AB两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D?xyz，
且PA与平面ABC所成的角为
?，有PD?4， 4则A(0,?4,0),C(22,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4)
∴CB?(?22,2,0),AC?(22,4,0),PA?(0,?4,?4) 因为AD?2DB,CE?2EB,?DE//AC,
由（1）知AC?BC,PD?平面ABC，∴ CB?平面DEP...............8分 ∴CB?(?22,2,0)为平面DEP的一个法向量.
??n?AC,?设平面PAC的法向量为n??x,y,z?，则?
??n?PA,?22x?4y?0∴?，令z?1，则x?2,y??1，...............10分 ??4y?4z?0∴n?(2,?1,1)为平面PAC的一个法向量. ∴cos?n,CB???4?23??.
24?123, 2故平面PAC与平面PDE的锐二面角的余弦值为
?所以平面PAC与平面PDE的锐二面角为30................12分
20.解析：（1）由题意
?3aba?4b22?c，即
3a2b2?c2(a2?4b2)?(a2?b2)(a2?4b2).
所以a?2b，?e?222................4分 2（2）因为三角形?PQF2的周长为42，所以
4a?42,?a?2,
x2?y2?1，且焦点F1(?1,0),F2(1,0)， 由（1）知b?1，椭圆方程为22①若直线l斜率不存在，则可得l?x轴，方程为x??1,P(?1,22),Q(?1,?)， 22F2P?(?2,722),F2Q?(?2,?)，故F2P?F2Q?................6分
222②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?1)， 由??y?k(x?1),22?x?2y?2消去y得(2k?1)x?4kx?2k?2?0，
22224k22k2?2,x1x2?2................8分 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??22k?12k?1F2P?F2Q?(x1?1,y1)?(x2?1,y2)?(x1?1)(x2?1)?y1y2,
则F2P?F2Q?(k2?1)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?k2?1.
2k2?24k27k2?17922代入韦达定理可得F2P?F2Q?(k?1)2?(k?1)(?2)?k?1?2??, 22k?12k?12k?122(2k?1)277FP?FQ?(?1,)FP?FQ?(?1,]， k由k?0可得2，结合当不存在时的情况，得222222所以F2P?F2Q最大值是21.解析：（1）f?(x)?7...............12分 2ax?1,(x?0)ax2
当a?0时，f?(x)?0恒成立，所以函数f?x?是?0,???上的单调递增函数； 当a?0时，f??x??ax?11?0x?，得， ax2af?(x)?ax?11?00?x?，得， 2axa1a1a函数单调递增区间为(,??)，减区间为(0,). 综上所述，当a?0时，函数f?x?增区间为?0,???..
当a?0时，函数单调递增区间为(,??)，减区间为(0,)................4分
x（2）∵x?[,e]，函数g(x)?(lnx?1)e?x?m的零点，
1a1a1e即方程(lnx?1)e?x?m的根. 令h?x???lnx?1?e?x，h??x???xx?1??lnx?1?ex?1.................6分 ?x?11?1在[,1)递减，在?1,e?上递增，
ex由（1）知当a?1时， ∴f?x??f?1??0.∴∴h??x???f?x??lnx?11?lnx?1?0在x?[,e]上恒成立.
ex?1??lnx?1?ex?1?0?1?0，...............8分 ?x?1ex∴h?x???lnx?1?e?x在x?[,e]上单调递增.
11?1??h????2ee?，h(x)max?e..........10分
e?e?1e∴h?x?min111所以当m??2e?或m?e时，没有零点，当?2ee??m?e时有一个零点................12分
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河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测（模拟）数学（理）试题
