单元综合测试四(综合测试题)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．命题“若x<1，则－1
解析：命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．故应选D. 2．设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( A ) A．充要条件 C．必要不充分条件
以“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件．
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
22
2
2
2
解析：因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>b>1?log2a>log2b>log21＝0，所
x2y2x2y2
3．已知椭圆2＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( C )
a943
A.2 B.10 C．4 D．10
x2y2x2y22
解析：因为椭圆2＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有共同的焦点(±7，0)，所以a－
a943
9＝7，所以a＝4，故选C.
4．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)＋y＝r(r＞0)相切，则r＝( A ) 63A.3 B．2 C．3 D．6
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±＝
5.|3|2
2
x2y2
222
12
x，即x±2y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝3 ，∴r＝3.故选A. ＋1
＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么123
x2y2
点M的纵坐标为( A )
A．±C.
3 4
B.3 3
3 23D. 4
解析：设F1为椭圆＋＝1的左焦点，F2为右焦点，PF1与y轴的交点为M.∵M是PF1
123的中点，∴MO∥PF2，∴PF2⊥x轴．又半焦距c＝12－3＝3，∴设P(x，y)，则x＝3，代入9y33
椭圆方程得＋＝1，解得y＝±.∴M点纵坐标为±.
12324
6．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( D ) 412A.C.
＋＝1 1612＋＝1 164
2
x2y2
x2y2
x2x2
y2
B.
＋＝1 1216
x2y2
y2
D.＋＝1 416
x2y2
解析：双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所
412124
x2y2y2x2
y2x2y2x2222
以对椭圆2＋2＝1而言，a＝16，c＝12.∴b＝4，因此方程为＋＝1.
ab164
11
7．如图，已知正四面体A-BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF夹角的余弦值
44为( A )
A.4
13
B.3 13
4C．－ 133D．－ 13
解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A-BCD中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相→→→1→→→→→→1→
垂直．又ED＝EA＋AD＝BA＋AD，BF＝BC＋CF＝BC＋CD，
44
→→1→→1→→→21→21→→→2→
∴ED·BF＝BA·BC＋AD·CD＝4，|ED|＝BA＋BA·AD＋AD＝1－4＋16＝13.|ED|
44162→→
ED·BF4→→→
＝13，同理|BF|＝13.∴cos〈ED，BF〉＝＝.
→→13|ED||BF|
→→→→
8．棱长均为1的三棱锥S-ABC，若空间一点P满足SP＝xSA＋ySB＋zSC(x＋y＋z＝1)，→
则|SP|的最小值为( B )
A．1 C.3 6
B.D.6 33 2
→→→→
解析：∵满足SP＝xSA＋ySB＋zSC(x＋y＋z＝1)， →2→→→2∴SP＝(xSA＋ySB＋zSC)
→→→→→→222
＝x＋y＋z＋2xySA·SB＋2xzSA·SC＋2yzSC·SB ＝x＋y＋z＋xy＋xz＋yz. ∵x＋y＋z＝1，∴(x＋y＋z)＝1，
2
2
2
2
x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz＝1，
又x＋y＋z≥xy＋xz＋yz， 1
∴xy＋xz＋yz≤，
3∴x＋y＋z＋xy＋xz＋yz 2
＝1－(xy＋xz＋yz)≥，
36→
则|SP|的最小值为.故选B.
3
πxyyx9．已知0<θ<，则双曲线C1：2－2＝1与C2：2－2＝1的( D )
4sinθcosθcosθsinθA．实轴长相等 C．离心率相等
B．虚轴长相等 D．焦距相等
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解析：双曲线C1：2－＝1，可知a＝sinθ，b＝cosθ， 2
sinθcosθ2c＝2sinθ＋cosθ＝2；
双曲线C2：2－2＝1可知，a＝cosθ，b＝sinθ，2c＝2sinθ＋cosθ＝
cosθsinθ2.
所以两条双曲线的焦距相等．故选D.
10．已知点A(－2,3)在抛物线C：y＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( D )
1A. 23C. 4
2
2
2
2
x2y2
y2x2
22
2B. 34D. 3
解析：∵点A(－2,3)在抛物线y＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y＝8x.设
2直线AB的方程为x＝k(y－3)－2 ①，将①与y＝8x2
p2
??x＝ky－3
联立，即?2
?y＝8x，?
－2，
得
y2－8ky＋24k＋16＝0 ②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2
??x＝8，1
或k＝－(舍去)．将k＝2代入①②解得?
2??y＝8，
8－04
即B(8,8)，又F(2,0)，∴kBF＝＝.
8－23
2024_2024学年高中数学综合测试题课时作业含解析北师大版选修2_1
