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第三章
3-1 设X是a?0，??1的高斯随机变量，试确定随机变量Y?cX?d的概率密度函数f(y)，其中c,d均为常数。
解：E[y]?cE[x]?d?d，E[y]?E[y]?cE[X]?2cdE[X]?c
222223-2 设一个随机过程?(t)可以表示 ?(t)?2cos(2?t??)
式中，?是一个随机变量，且P(??0)?12， P(???2)?12，试求E?(1)及
R?(0,1)。
解： 由 P(??0)?P(???2)?1 得到随机变量?的概率密度分布函数为
11?f(?)??(?)??(??)，
2223-3 设Y(t)?X1cos?0t?X2sincos?0t是一随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0、方差为σ2的正态随机变量，试求：
（1）E[Y(t)]、E[Y(t)]；
（2）Y(t)的一维分布密度函数f(y); （3）R(t1,t2)和B(t1,t2)。
3-4 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为ax和ay，自相关函数分别为Rx(?)、Ry(?)。
（1）试求乘积Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数； （2）试求和Z(t)?X(t)?Y(t)的自相关函数。
3-5 已知随机过程z(t)?m(t)cos(?ct??)，其中，m(t)是广义平稳过程，且其自相关
2?1???函数为 Rm(?)??1???0??1???00???? 其他随机变量?在(0,2?)上服从均匀分布，它与m(t)彼此统计独立。
（1） 证明z(t)是广义平稳的；
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（2） 试画出自相关函数Rz(?)的波形； （3） 试求出功率谱密度Pz(f)及功率S。 解：
因为 E[cos(?ct??)]?12??2?0cos(?ct??)d??0，得到
所以，（1）z(t)是广义平稳的； （2）略 （3）Pz(f)?????Rz(?)e?j2?f?d?
其中，??2?f。 S?Rz(0)?或者，
3-6 已知噪声n(t)的自相关函数为
（1）求出其功率谱密度Pn(f)及功率N； （2）试画出Rn(?)及Pn(f)的图形。 解：（1） （2）略。
3-7 一个均值为a，自相关函数为RX(?)的平稳随机过程X(t)通过一个线性系统后的输出过程为
Y(t)?X(t)?X(t?T)， T为延时时间 （1）画出该系统的框图；
（2）试求Y(t)的自相关函数和功率谱密度。 解： （1）略 （2）
3-8 一个中心频率为fc、带宽为B的理想带通滤波器如图P3-1所示。假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求： （1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。 3-9 一个RC低通滤波器如图P3-2所示，假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的白噪声时，试求：
（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数。 （2）输出噪声的一维概率密度函数。
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（2）Nno?Rno(0)?n0??2， 4RC由题3-8，输出噪声的一维概率密度函数为：
3-10 一个LR低通滤波器如图P3-3所示，假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的白噪声时，试求：
（1）输出噪声的自相关函数。 （2）输出噪声的方差。 解：（1）LR低通滤波器的传输函数为 输出噪声的功率谱密度为
（2）Nno?Rno(0)?n0R 4L3-11 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为Tb，脉冲幅度取
?1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且具有宽
平稳性，试证：
（1）自相关函数
（2）功率谱密度P?(?)?Tb[Sa(?fTb)]
证明：
这是一个等概率发送的双极性矩形脉冲序列，可以证明（见第6章138页式（6.1-26）和140页例题6-2）
因为P两个Sa函数的乘积?两个门函数的卷积，?(?)?R?(?)，Sa函数?门函数，可以证明自相关函数为一三角波。即
3-12 图P3-4为单个输入，两个输出的线性过滤器，若输入过程?(t)是平稳的，试求?1(t)和?2(t)的互功率谱密度的表达式。
图P3-4 解：
3-13 设平稳过程X(t)的功率谱密度为PX(?)，起自相关函数为RX(?)。试求功率谱密度为
所对应的过程的相关函数（其中，?0为正常数）。 解：所求为
3-14 X(t)是功率谱密度为PX(f)的平稳随机过程，该过程通过图P3-5所示的系统。
（1）求出过程Y(t)是否平稳？ （2）求Y(t)的功率谱密度。
图P3-5 相加 2延时T 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
解：（1）相加运算和微分运算都是线性运算，因为“若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的”，所以，Y(t)是平稳的。
（2）X(t)经过延时T后的信号为 X(t?T)?X(t)e所以，系统传输函数为 功率谱密度为
3-15 设X(t)是平稳随机过程，其自相关函数在(?1,1)上为RX(?)?1??，是周期为2的周期性函数。试求X(t)的功率谱密度PX(?)，并用图形表示。 解：将RX(?)按傅立叶级数展开：RX(?)???j?T，所以
n????Cen?j2?nf?
?n?????Sa2(n?)?(f?nf0) （图略。） 2期末试题精选与答案
1．平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与 无关，二维分布只与 有关。
2．一个均值为零，方差为?的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是 过程，均值为 ，方差为 。
3．均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是 ，其相位的一维分布是 。
4．白噪声在 上，随机变量之间不相关。 5．高斯过程通过线性系统以后是 过程。 答案
1．时间 时间间隔
22．平稳高斯 0 ?n
2
3．瑞利分布 均匀分布 4．同一时刻 5．高斯
考研试题精选
1．双边功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，通过中心频率为fc，带宽为B(B=fc)的理想带通滤波器，其输出包络的一维概率密度函数为 。
2．功率谱密度为[Px(???0)?Px(???0)]的平稳过程的自相关函数为 。
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3．什么是广义平稳、狭义平稳？两者关系如何？ 4．窄带高斯白噪声中的“窄带”、“ 高斯”和“白”的含义是什么？
5．已知sm(t)?m(t)cos(?ct??)是一幅度调制信号，其中?c为常数；m(t)是零均值平稳随机基带信号，m(t)的自相关函数和功率谱密度分别是Rm(?)和Pm(f)；相位?为在[??,??]区间服从均匀分布的岁机变量，并且m(t)与?相互独立。
（1）试证明sm(t)是广义平稳的随机过程； （2）试求sm(t)的功率谱密度Pm(f)。
6．设信道噪声具有均匀的双边功率谱密度n0/2，接收滤波器的传输特性为
（1） 求滤波器的输出噪声功率谱密度和平均噪声功率
（2） 求滤波器输入噪声的自相关函数和输出噪声的自相关函数
答案
v22??n0B，v?0。 )1．f(v)?2exp(?，其中2?2?v2．Rx(?)cos?0?，其中Px(f)?Rx(?)
3．狭义平稳过程：其任意n维分布与时间的起点无关，如一维分布与t无关，二维分布只与??t2?t1有关；广义平稳过程：其数学期望与t无关，而其相关函数仅与时间间隔?有关。两者关系：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。
4．“窄带”的含义：（1）频带宽度远小于中心频率（B=fc），（2）中心频率原离零频（fc?0）；
“ 高斯”的含义：噪声的瞬时值服从正态分布；
“白”的含义：噪声的功率谱密度在通带的范围B内是平坦的（为常数）。 5．解：因为m(t)与?独立 相关函数
因为均值与时间无关，相关函数只与时间间隔有关，sm(t)是广义平稳过程。 6．解
（1）功率谱密度 平均功率N0?????P(f)df?n02kB 2（2）P(f)?Rn(?)
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输入噪声的自相关函数： Rn(?)?n0?(?) 22输出噪声的自相关函数：Rn(?)?n0BkSa(?B?)cos2?fc?
通信原理答案第三节2A
