，
收敛域为0≤|z|<|a|（或写成|z|<|a|）。 思考：-anu(-n-1)的DTFT存在吗？
结论：当Z变换的收敛域中包含单位圆时，用Z变换可求出DTFT。
= （2.5.4）
上式称为单位圆上的Z变换就是离散时间傅立叶变换。 回顾：观察零极点。
结论：零点可以在复平面的任意处，但极点在收敛域的边缘或收敛域的外面。
2.5.3 Z反变换
已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为Z反变换。表示为x(n)=ZT-1[X(z)]
其中，c是X(z)收敛域中一条逆时针的闭合曲线。
求Z反变换的方法通常有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和长除法。
一、 围线积分法（留数法）
直接计算围线积分比较麻烦，一般都采用留数定理来求解。按留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有K个极点zk，则有
（2.5.6）
设zr是X(z)zn-1的单极点，则根据留数定理： 如果zk是L阶极点，则根据留数定理，
（2.5.8）
(2.5.8)表明，对于L阶极点，需要求L-1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点时，可根据留数辅助定理改求c外所有极点之和，使问题简单化。
若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm，（K，M为有限值）。现在c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，根据留数辅助定理改求c外所有极点之和。得：
（2.5.9） （2.5.9）应用条件是X(z)zn-1在z=∞有两阶或二阶以上零点，即要分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。
问题1：已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)]，1/4<|z|<4，
求Z反变换。
解： c ，c为X(z)的收敛域
内的闭合围线，画出收敛域及c。 X(z)zn-1=。现在来看极点在围线c内部及外部的分布情况及极点阶数。 当时，函数在围线c内只有z=1/4处一个一阶极点，
=
，
当时，函数 在围线外部只有一个一阶极点z=4，而在围线的内部则有z=1/4处一阶极点及z=0处一（n+1）阶极点，所以采用围线外部的极点较方便。
=
，
∴
问题2：已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)]， |z|>4，
求Z反变换。
解： c，c为X(z)的收敛域
内的闭合围线。 X(z)zn-1=。现在来看在围c内部及外部的分布情况及极点阶数。 当时， 函数在围线c内z=1/4处有一个一阶极点，z=4处有一个一阶极点，
=
，
+
当n=-1时，x(n)=0，∴x(n)= ， 当时，函数 在围线外部没有一个极点，所以采用围线外部的极点较方便。由于围线外部没有一个极点，∴x(n)=0。
∴x(n)= （
）u(n)
二、 部分分式展开法
对于大多数单极点的序列，常常用这种部分分式展开法求Z反变换。
X(z)=B(z)/A(z)= X1(z)+ X2(z)+…+ XK(z)，则
= ZT-1[X1(z)]+ ZT-1 [ X2(z)]+…+ ZT-1 [XK(z)]
ZT-1[X1(z)]、ZT-1 [ X2(z)]、…ZT-1 [XK(z)]可从Z变换表中直接查表得出
问题1：设X(z)=z2/[(z-2)(z-0.5)]，|z|>2，
求Z反变换。
解：X(z) =z2/[(z-2)(z-0.5)]
A1=∴
，A2=
，
∵收敛域为|z|>2，∴x(n)=
三、 幂级数展开法
因为的Z变换定义为z-1的幂级数，即
所以只要在给定得收敛域内，把X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列。
当X(z)的收敛域为|z|>Rx-时，则必为因果序列，此时应将X(z)展成z的负幂级数，为此，X(z)的分子分母应按z的降幂排列；
当X(z)的收敛域为|z| 问题1：已知，|z|>3 解：因为收敛域|z|>3，所以这是因果序列，因此，X(z)分子 分母按z的降幂排列。 进行长除 2.5.4 Z变换的基本性质和定理 一、 线性 线性就是要满足比例性和可加性。若 X(z) = ZT [x(n) ]，Y(z) = ZT [y(n) ]， ， 二、 序列的移位 若X(z) = ZT [x(n) ]，则有ZT [x(n-m) ] =z-mX(z)， 三、 乘以指数序列 若X(z) = ZT [x(n) ]，则ZT [anx(n) ]=X()， 四、 序列乘以n 若X(z) = ZT [x(n) ]， 则ZT [ax(n)+by(n)]=a X(z)+b Y(z)， 。 则ZT [n x(n) ]=－z， 五、 复序列取共扼 一个复序列x(n)的共扼序列为x*(n) 若ZT [x(n) ] =X(z) ，则ZT [x*(n) ] =X*(z*) ， 六、 翻转序列 若ZT [x(n) ] =X(z) ， 则ZT [x(－n) ] =X() ， 七、 （因果序列）初值定理 对于因果序列x(n)，即x(n)=0，n<0，ZT[x(n) ] =X(z)有
时域离散信号和系统的频域分析报告
