合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 B 5 D 6 D 7 C 8 A 9 C 10 A 11 A 12 D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.y?ex?e 14.31 15.4?22 16.17，?，?3?113??(第一空2分，第二空3分) 6?
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
解：(1)∵tanA?2cosC?sinA??cosA?2sinC，∴2sinAcosC?sin2A?cos2A?2cosAsinC. 化简得sinAcosC?cosAsinC?∴B?1111，即sin?A?C??，∴sin???B??，即sinB?. 2222?6或B?5?. ………………………………5分 6(2)∵B是锐角，∴B??6，
13由S?ABC?acsinB?得，ac?3. 24在?ABC中，由余弦定理得b2?a2?c2?2accosB?(a?c)2?2ac?3ac
∴?a?c??1?23?3?1?3，∴a?c?1?3，
∴?ABC的周长为2?3 ………………………………12分
18.(本小题满分12分)
⑴证明：分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN. 由图(1)可得，?ADF与?BCE都是等腰直角三角形且全等， ∴DM?AF，CN?BE，DM?CN.
∵平面ADF?平面ABEF，交线为AF，DM?平面ADF，DM?AF， ∴DM?平面ABEF.
同理，CN?平面ABEF，∴DM//CN.
又∵DM?CN，∴四边形CDMN为平行四边形，∴CD//MN. ∵M，N分别是AF，BE的中点，∴MN//AB，
∴CD//AB. ………………………………5分 ⑵由图可知，V三棱锥D－BCE?V三棱锥B－DCE， ∵EF?1，AB?3，∴CD?MN?2， ∴V三棱锥B－DCE?2V三棱锥B－EFC?2V三棱锥C－EFB.
由(1)知，CN?平面BEF.
122∵CN?，S?BEF?，∴V三棱锥C－EFB?，
21222∴V三棱锥D－BCE?. ………………………………12分
6
19.(本小题满分12分)
2020年二模文科试题参考答案 第 4 页 共 4 页
2??2
解：⑴由已知可得：圆心(4，4)到焦点F的距离与到准线l的距离相等，即点(4，4)在抛物线E上， ∴16?8p，解得p?2.
∴抛物线E的标准方程为y2?4x. ………………………………5分 ⑵由已知可得，直线m斜率存在，否则点C与点A重合. 设直线m的斜率为k(k?0)，则AB:y?k?x?1?.
?y2?4x?由?消去y得 k2x2?2?k2?2?x?k2?0. ??y?k?x?1?4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1?x2?2?2，x1x2?1.………………………………7分
k由对称性可知，C(x2， ?y2)，∴AF?x1?1，CF?x2?1.
设直线m(AB)的倾斜角为?，则tan??k， ∴sin?AFC?sin???2???sin2??2sin?cos??∴S?AFC，
sin2??cos2?tan2??1k2?1k41???x1?1??x2?1?sin2???xx?x?x?1????1212??k2?1k.……………………………10分 2??42?6，解得k??. k32sin?cos?2tan?2k由已知可得
∴直线m的方程为y??2?x?1?，即2x?3y?2?0. ………………………………12分 3
20.(本小题满分12分)
1解：⑴x??2?60?6?240?10?100?14?60?18?20?22?18?30?2??8.432，
500 所以这一天小王500名好友走路的平均步数约为8432步.……………………………3分
1?0.432? ⑵p?A???100??0.6216， ?60?240?500?4?所以事件A的概率约为0.6216. ………………………………………………………5分 (3)
健步达人 非健步达人 合计
40岁以上 150 150 300
不超过40岁 50 150 200
合计 200 300 500 ……………………………………………………8分
K?2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d??500?22500?7500?2200?300?300?200?31.25?10.828，…………10分
∴有99.9﹪以上的把握认为，健步达人与年龄有关. ………………………………12分
21.(本小题满分12分)
???解：(1)f?x??exsinx，定义域为R.f??x??ex?sinx?cosx??2exsin?x??.
4??3?7?????x??2k?(k?Z). 由f??x??0得sin?x???0，解得2k??444??7??3?? ?2k??(k?Z).………………………………5分 ∴f?x?的单调递减区间为??2k?，4?4?(2)∵g??x??ex?sinx?cosx??2，∴g???x??2excosx.
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??????∵x??0，??，∴当x??0， ?时，g???x??0；当x??，??2???2?时，g???x??0. ??????∴g??x?在?0， ?上单调递增，在?，??上单调递减， ?2??2?????又∵g??0??1?2?0，g????e2?2?0，g??????e??2?0， 2??∴g??x?在?0，??上图象大致如右图. ??????∴?x1??0， ?，x2??，??，使得g??x1??0，g??x2??0，?2??2?且当x??0，x1?或x??x2，??时，g??x??0；当x??x1，x2?时，g??x??0. ∴g?x?在?0，x1?和?x2，??上单调递减，在?x1，x2?上单调递增. ∵g?0??0，∴g?x1??0. ???∵g???e2???0，∴g?x2??0， ?2?又∵g?????2??0，由零点存在性定理得，g?x?在?x1，x2?和?x2，??内各有一个零点， ?∴函数g?x?在?0，??上有两个零点. ………………………………12分 22.(本小题满分10分)
?x?3cos??4sin?x2y2?(1)曲线C的参数方程?消去参数?得，曲线C的普通方程为??1. 129259y?cos??sin??55????∵?sin?????3，∴3?cos???sin??23?0，
3??∴直线l的直角坐标方程为3x?y?23?0. ………………………………5分
1?x?2?t?2?(2)设直线l的参数方程为?(t为参数)，
3?y?t??26将其代入曲线C的直角坐标方程并化简得7t2?6t?63?0，∴t1?t2?，t1t2??9.
7∵点M(2，0)在直线l上，
363022∴MP?MQ?t1?t2??t1?t2??4t1t2??36?. ………………………………10分
497
23.(本小题满分10分)
(1)由题意知，为方程x?1?3x?5?m的根，∴由x?1?3x?5?1解得，?x?323239?1??5?m，解得m?1. 2277，∴n?. ………………………………5分 44(2)由(1)知a?b?c?1，
b2?c2c2?a2a2?b22bc2ac2ab∴. ?????abcabc21??a2b2?b2c2???b2c2?c2a2???c2a2?a2b2??， ?a2b2?b2c2?c2a2????abcabc?12abc?2ab2c?2bc2a?2ca2b???a?b?c??2， ?abcabc2020年二模文科试题参考答案 第 4 页 共 4 页
b2?c2c2?a2a2?b2∴???2成立. ………………………………10分
abc2020年二模文科试题参考答案 第 4 页 共 4 页
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