专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用
答案部分 2019年
1.解析：对于B，令x???取a1?211?0，得??， 42
111，所以a2?,L,an??10， 2221所以当b?时，a10?10，故B错误；
4对于C，令x???2?0，得??2或???1， 取a1?2，所以a2?2,L,an?2?10， 所以当b??2时，a10?10，故C错误； 对于D，令x???4?0，得??221?17， 2取a1?1?171?171?17?10， ，所以a2?，…，an?222所以当b??4时，a10?10，故D错误；
11?21?132对于A，a2?a?…，a3??a???…，
222?24?23?19117?a4??a4?a2???…???1，
4?216216?an?1?an?0，{an}递增，
1a134时，n?1?an?2?1??， 当n…anan222
?a53?a?2?4?a636a10?3?729??所以?a52，所以?10故A正确．故选A． ???，所以a10?64a4?2??M??a103?a?2?92.解析：（1）设数列{an}的公差为d，由题意得
a1?2d?4,a1?3d?3a1?3d，
解得a1?0,d?2．
*从而an?2n?2,n?N．
由Sn?bn,Sn?1?bn,Sn?2?bn成等比数列得
?Sn?1?bn?解得bn?2??Sn?bn??Sn?2?bn?．
12Sn?1?SnSn?2?． ?d2*所以bn?n?n,n?N．
（2）cn?an2n?2n?1??,n?N*． 2bn2n(n?1)n(n?1)我们用数学归纳法证明．
①当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
②假设n?kk?N*时不等式成立，即c1?c2?L?ch?2k． 那么，当n?k?1时，
??c1?c2?L?ck?ck?1?2k?k1 ?2k?(k?1)(k?2)k?1?2k?2?2k?2(k?1?k)?2k?1．
k?1?k即当n?k?1时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式c1?c2?L?cn?2n对任意n?N*成立．
3.解析（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
?a12q4?a1q4?a2a4?a5?a1?1由?，得?2，解得?． ?a3?4a2?4a1?0?q?2?a1q?4a1q?4a1?0因此数列{an}为“M—数列”.
122??（2）①因为，所以bn?0． Snbnbn?1由b1?1,S1?b1，得?1122?，则b2?2. 1b2bnbn?1122??S?由，得n， Snbnbn?12(bn?1?bn)当n?2时，由bn?Sn?Sn?1，得bn?整理得bn?1?bn?1?2bn．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=nn?N②由①知，bk=k，k?N*.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
k?1k因为ck≤bk≤ck+1，所以q?k?q，其中k=1，2，3，…，m.
bnbn?1bn?1bn?，
2?bn?1?bn?2?bn?bn?1??*?.
当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有
lnklnk?lnq?． kk?1设f（x）=
lnx1?lnx(x?1)，则f'(x)?． xx2令f'(x)?0，得x=e.列表如下：
x f'(x) (1,e) + e 0 极大值 (e，+∞) – f（x）
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