1998年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)limx?0
1?x?1?x?2=_____________. 2x
?2z1(2)设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数,则=_____________.
x?x?yx2y2??1,其周长记为a,则?(2xy?3x2?4y2)ds=_____________. (3)设l为椭圆43L(4)设A为n阶矩阵,A?0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?,则(A)?E必有特征值_____________.
(5)设平面区域D由曲线y?*2*12及直线y?0,x?1,x?e所围成,二维随机变量(X,Y)x在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
dx(1)设f(x)连续,则tf(x2?t2)dt= ?dx0(A)xf(x) (C)2xf(x)
22
(B)?xf(x) (D)?2xf(x)
22(2)函数f(x)?(x2?x?2)x3?x不可导点的个数是 (A)3 (C)1
(B)2 (D)0
(3)已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?的高阶无穷小,y(0)??,则y(1)等于
(A)2? (C)e
?4y?x??,且当?x?0时,?是?x21?x
(B)?
?(D)?e4
?a1?(4)设矩阵a2???a3b1b2b3c1?x?a3y?b3z?c3c2???是满秩的,则直线与直线?a1?a2b1?b2c1?c2c3??x?a1y?b1z?c1??
a2?a3b2?b3c2?c3(A)相交于一点 (C)平行但不重合
(B)重合 (D)异面
(5)设A,B是两个随机事件,且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有 (A)P(A|B)?P(A|B) (C)P(AB)?P(A)P(B) 三、(本题满分5分)
求直线l:
(B)P(A|B)?P(A|B) (D)P(AB)?P(A)P(B)
x?1yz?1在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程,并求l0??11?1
2?2?绕y轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分6分)
确定常数?,使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?2xy(x?y)i?x(x?y)j424为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y). 五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为?,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y?y(v).
六、(本题满分7分)
axdydz?(z?a)2dxdy222计算??其中为下半平面的上侧,a为大z??a?x?y,?22212(x?y?z)?于零的常数.
七、(本题满分6分)
2???sinsin?n?n?求lim?x??n?11?n?2??sin???.1?n??n?
八、（本题满分5分）
设正向数列{an}单调减少,且理由.
九、（本题满分6分）
设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间
?(?1)an发散,试问级数?(nn?1??n?11n)是否收敛?并说明an?1[x0,1]上以y?f(x)为曲边的曲边梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f?(x)?? 十、（本题满分6分）
已知二次曲面方程x?ay?z?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换
2222f(x),证明(1)中的x0是唯一的. x?x?????y??P???化为椭圆柱面方程?2?4?2?4,求a,b的值和正交矩阵P. ???????z?????? 十一、（本题满分4分）
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx?0有解向量α,且Ak?1α?0. 证明:向量组α,Aα,,Ak?1α是线性无关的.
十二、（本题满分5分）
已知方程组
a11x1?a12x2?(Ⅰ) ?a1,2nx2n?0?a2,2nx2n?0?an,2nx2n?0
a21x1?a22x2? an1x1?an2x2?的一个基础解析为(b11,b12,性方程组
,b1,2n)T,(b21,b22,,b2,2n)T,,(bn1,bn2,,bn,2n)T.试写出线
b11y1?b12y2?(Ⅱ) ?b1,2ny2n?0?b2,2ny2n?0?bn,2ny2n?0
b21y1?b22y2? bn1y1?bn2y2?的通解,并说明理由.
十三、（本题满分6分）
设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为
1的正态分布,求随机变量2X?Y的方差.
十四、（本题满分4分）
从正态总体N(3.4,6)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大? 附:标准正态分布表 ?(x)?2?z??1?t2edt 2?1.645 0.950 1.96 0.975 2.33 0.990 2z1.28 ?(x)0.900 十五、（本题满分4分）
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.
附:t分布表 P{t(n)?tp(n)}?p
35 36
0.95 1.6896 1.6883 0.975 2.0301 2.0281
1998年考研数学一【试题版】【无水印】
