北京市朝阳区 2016-2017 学年度高三年级第一学期统一考试
数学试卷（文史类）2017.1
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项． A ?{x | x ?1} ， B ?{x | x ? 2 ? 0}，则(e1．已知全集U ? R ，集合 U A) B ? （ ） A．{x | x ? 2 }
x ? 2} C．{x|1≤ 2
2. 复 数 ? （ ）
1 ? i
B．{x |1? x ≤2 }
2} D．{ x | x ≤
A. 2 ? i C. 1 ? i D. 1?i B. 2 ? 2i 3. 已知非零实数a ， b 满足a ? b ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
1 1B． ? C． ab ? b2 D． a3 ? b3 ? 0 A． a ? b ? 0
a b
4. 已知平面向量a ? (1，0) ， b ? 1 ， 3 ? ，则a 与a ? b 的夹角为（ ）
? ? ? ??2 2 ? ??
?
A．
6
? B．
3
x ?? C．
3 ??D． ?
6
3 5. 已知a ? 0 ，且a ? 1 ，则“函数 y ? a在 R 上是减函数”是“函数 y ? (2 ? a)x在R 上是增函数”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
x2 y2
6. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 ， b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 ， F2 ， M 是双曲线上的一点，且
ab
| MF1 |? 3 ，| MF2 |? 1 ， ?MF1F2 ? 30? ，则该双曲线的离心率是（ ）
3 ?13 ?1 D． 3 ? 1 或 C． A. 3 ? 1 B． 3 ? 1
2 2
7. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）
8.
24 C. D． 2 3 3
某校高三（1）班32 名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人 数分别为26 人和23 人，这两项成绩均不合格的有3 人，则这两项成绩均合格的人数是（ ） A． 23 B． 20 C． 21 D．19 A.
2
3
B.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．
9. 已知等差数列{an } 前 n 项和为 Sn ．若a1 ? 2 ， S2 ? a3 ，则a2 ???， S10 ???．
10．圆C ： x2 ? y2 ? 2x ? 2y ? 2 ? 0 的圆心到直线3x ? 4 y ?14 ? 0 的距离是 11．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为
．
．
12．在△ABC 中，已知?B ? 45?，AC ? 2BC ，则?C ???．
13 .
0， ?x ? y ≥
?
设 D 为不等式组??x ? y ≤ 0，表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 A(x ，y) ，则2x ? y
?x+3y ≤ 3 ??
的最大值是
x ? y ， 的取值范围是
x2 ? y2
．
14 .
甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙
获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手
中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ． （Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期；
? ???? ?，（Ⅱ）求 f (x) 在区间? ??? 上的最大值和最小值． ? 6 4
16．（本小题满分 13 分）
已知等比数列{an } 的各项均为正数，且a2 ? 4 ， a3 ? a4 ? 24 ．
（Ⅰ）求数列{an } 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn } 满足b1 ? 3 ， b2 ? 6 ，且{bn ? an } 是等差数列，求数列{bn } 的前n 项和． 17．（本小题满分 13 分）
甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训．在培训期间，他们参加的5 次测试成绩记录如下： 甲 ： 82 82 79 95 87 乙 ： 95 75 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）从甲、乙两人的这5 次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；
（Ⅲ）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由． 18．（本小题满分 14 分）
如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD ? 平面 ABEF ， AF ∥ BE ， AB ? BE ， AB ? BE ? 2 ， AF ? 1．
（Ⅰ）求证： AC ? 平面 BDE ； （Ⅱ）求证： AC ∥平面 DEF ； （Ⅲ）求三棱锥C ? DEF 的体积． 19．（本小题满分 13 分）
1
在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两定点 A(?2，0) ，B(2，0) 连线的斜率乘积为? ，记点 P 的
2 轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）若曲线C 上的两点 M ，N 满足OM ∥ PA ， ON ∥ PB ，求证： △OMN 的面积为定值． 20．（本小题满分 14 分）
设函数 f (x) ? (x ?1)ex ? ax2 ，a?R ．
（Ⅰ）当a ? 1 时，求曲线 y ? f (x) 在点(1，f (1)) 处的切线方程； （ Ⅱ）若函数 f (x) 有两个零点，试求a 的取值范围;
（Ⅲ）设函数 g(x) ? ln x ? x ?ex ?1 ，当a ? 0 时，证明 f (x) ? g(x)≥0 ．
北京市朝阳区2016-2017高三期末数学(文)试卷
