几个重要的离散型随机变量的分布列
井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000）
随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。
下面先了解几个概念:
随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母?,?等表示.
离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量.
离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量?可能取得值为
x1,x2,x3,...,xi,...,?取每一个值xi?i?1,2,3,...?的概率P???xi??pi,则称表
? p x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … 为随机变量?的概率分布,简称?的分布列.
由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)Pi?0,i?1,2,3,... (2)P1?P2?P3?...?1
离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.
一、 几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数?是一个取值为正整数的离散型随机变量，“??k”表示第k次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k次试验时事件A发生记为Ak、事件A不发生记为Ak，P?Ak??p,PAk?q，那么
??P???k??P?A1A2A3...Ak?1Ak?，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 P???k??P?A1?P?A2?P?A3?...P?Ak?1?P?Ak??qk?1p?k?1,2,3,...?。
于是得到随机变量?的概率分布
? p 1 2 3 ... … k ... … p qp q2p qk?1p 我们称?服从几何分布,并记g?k,p??qk?1p,其中q?1?p,k?1,2,3,....
例1、 从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设每个产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数?的分布列。
（1） 每次取出的产品都不放回此批产品中；
（2） 每次取出的产品都立即放回次批产品中，然后再取一件产品； （3） 每次取出一件产品后总把一件合格品放回此批产品中。 分析：（1）由于取求后不放回，每次取产品的结果互相影响；
（2）由于取球后放回，各次取产品相互独立，它是一个几何分布； （3）有放回取且放回正品，基本事件总数发生变化。 解：（1）由题知?的取值为1，2，3，4。
当??1时，即只取一次就取到合格品，故P???1??10； 13 当??2时，即只取一次就取到次品，而第二次取到合格品，故
P???2??
3105； ??13122632105 ???131211143321101 P???4??????。
13121110286类似地，有P???3??所以?的分布列为：
? p 1 10/13 2 5/26 3 5/143 4 1/286 （2）由于取球后放回，所以?的取值为1，2，3，…，n，…，则随机变量?服从几何分布。 当??1时，即第一次就取到合格品，故P???1??10； 13310?； 13133210当??3时，即第一、二次都没有到合格品，而第三次取到合格品，故P???3??()?；
1313当??2时，即第一次没有到合格品，而第二次取到合格品，故P???2??类似地，当??n时，即前n-1次都没有取到合格品，而第n次取到合格品，故
310P???n??()n?1?,n?1,2,3,......,因此?的 分布列为：
1313? p 1 2 3 2... … n n?1… … 10 13310? 1313?3?10??? ?13?13?3????13?10? 13(3) 由题知?的取值为1，2，3，4.
当??1时，即第一次就取到合格品，故P???1??10； 13当??2时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意第二次再取时这批产品有11个
31133??2； 131313321272321136类似地，有P???3?????3,P???4??????4,
131313131313131313合格品,2个次品故P???2??因此?的 分布列为:
? p 1 10 132 33 1323 4 72 1336 134点评:此题主要考查等可能事件的概率问题,有放回和没有放回的基本事件总数是不一样的,特别是第2问是有放回摸球问题,表示第k次独立重复试验时事件第一次发生,而前k?1次独立重复试验时,事件都没有发生,这样的独立重复试验可以无限的进行下去,因而是一个典型的几何分布问题.
例2、袋中有1个白球和4个黑球,每次从其中任取一个球,直到取到白球为止,求取球次数?的分布列.
分析:题中球的个数很少,并没有指出取出黑球是否放回,所以,应分两种情况考虑. 解:当取出的球为黑球时就放回,则随机变量?服从几何分布,P???k??()于是随机变量?的 分布列为:
45k?11?, 5? p 1 1 52 41? 553 2… n n?1…. ?4????5??1???? … ?5??4????5?1... ? 5(2)当取出的球为黑球时不放回,则随机变量?不服从几何分布.
1411431143211P???1??;P???2????;P???3?????;P???4??????
5545543554325所以随机变量?的分布列为:
? p 1 1 52 1 53 4 5 1 51 51 5
点评(1)当袋中球的个数很多时,是否放回对每次取到白球和黑球的概率可认为没有影响;但当袋中球的个数有限时,是否放回每次取到白球和黑球的概率是不一样的,因而要分两种情况.
(2)当离散型随机变量\??k\是指抽查k次.而并不表示第k次独立重复试验时事件第一次发生时,它不服从几何分布,不能硬套公式.例如:某射手每次命中目标的概率为0.15,现在该射手连续向某目标射击,若命中目标则停止射击,否则继续射击,直到命中目标,但射击次数最多不超过10次,求射击次数?的分布列.此题独立事件指定k次发生的问题,每个概率应为
pi?k?1?p?,而P???k?应理解为前9次未命中目标而第10次命中或前9次未命中且第
10次也未命中两重含义,它不是几何分布,也不是二项分布.
二、两点分布(0—1分布)
某事件在一次试验中或者发生或者不发生只有两种情况,发生的概率为p,不发生的概率为1?p,此时我们称事件发生的概率服从0---1分布.
例3、篮球比赛中每次罚球命中球得1分,不中得0分,已知某运动员罚球命中的概率为0，求他一次罚球得分的分布列.
解：设他罚球得分为?，则?的分布列为：
k? p 0 0．3 1 0．7 点评：两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可用两点分布来研究。 三、超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件\X?k\kn?kCMCN?M的概率为：P?X?k??,k?0,1,2,3,...,m,其中nCNm?min?n，M?，且
kn?kCMCN?Mn?N，M?N，n，M，N?N，称分布列P?X?k??,k?0,1,2,3,...,m,为nCN?超几何分布列。如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布，它适用于有限不放回抽样问题。
例4、 一家工厂收到批量为40的多批保险丝，接到部门从每一批中随机检查4根保险丝只要在任何一根为不合格，则拒绝该批，若某一批却有10%的不合格品，则抽检的4根保险丝中有一根不合格的概率是多少？该批被接受的概率是多大？
分析：设X表示抽取的4根中不合格品的根数，则X可能取值为0、1、2、3、4，某一批的40根保险丝，可分为两类，即合格品和不合格品，从中随机抽取4根，可以看成是不放回抽取4次，因此X服从超几何分布。
解：在批量为40的多批保险丝中，某一批有10%的不合格品，因此在这一批中不合格品的根数为4，所以由超几何分布可知，抽检的4根保险丝中有1根为不合格品的概率为：
1303C4C36C4C36P?X?1??4?0.3125； 该批被接受的概率为：P?x?0???0.6445 4C40C40由此可见，即使不 合格品为10%的一批任有64%的接受概率。
点评：在应用超几何分布时，适用的条件是从有限总体中无放回抽样问题，在解题时一定要分清是否放回，正确使用概率模型。
四、二项分布
一般地，在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为P???k??Cnpqkkn?k，其中k?0,1,2,3,...,n,q?1?p，于是得到
随机变量?的概率分布如下：
? p 0 00nCnpq 1 11n?1Cnpq 2 22n?2Cnpq … 。。。 k kkn?kCnpq …. 。。。 n nn0Cnpq 22n?2kkn?k00n11n?1由于Cnpq恰好是二项展开式?q?p??Cnpq+Cnpq+Cnpq+。。。
nkkn?knn0+Cnpq+。。。+Cnpq中的第k+1项（这里k可取0，1，2，。。。，n中的各个值），所
以称这样的随机变量服从二项分布，记作?B?n,p?，其中n,p为参数，并记：
kkn?kCnpq=b?k;n,p?，n是独立重复试验的次数，p是每一次试验中某事件发生的概
率。
例5、 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个遇到红灯的事件是相 互 独立的，并且概率都是
1，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列及至4多遇到一次红灯的概率。
分析：由于在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，而途中有3个交通岗且每次遇到红灯的概率都是
1，因而可认为是做了3次独立重复试验，每次试验中事件A发生的4概率都是
11?1?，一次途中遇到 红灯次数X服从参数为3，的二项分布B?3,?。 44?4?
几个重要的离散型随机变量的分布列
