1．x轴与圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的位置关系是________．
2222
解析：将圆x＋y＋2x－4y＋1＝0化为标准形式：(x＋1)＋(y－2)＝4，圆心到x轴的距离等于半径，所以与x轴相切． 答案：相切
22
2．直线3x－y＋m＝0与圆x＋y－2x－2＝0相切，则实数m等于________．
22
解析：圆x＋y－2x－2＝0的圆心C(1,0)，半径r＝3，直线3x－y＋m＝0与圆相切时，
|3＋m|
d＝r，即＝3，解得m＝－33或m＝3.
3＋1
2
2
答案：－33或3
22
3．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a等于________．
22
解析：因为直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为
|a－2＋3|
23，则圆心(1,2)到直线的距离等于1，即＝1，a＝0.
a2＋1
答案：0
22
4．圆x＋y－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程是________．
322
解析：∵点P在x＋y－4x＝0上，kOP＝－3(O为圆心)，∴切线斜率k＝，
3∴切线方程为x－3y＋2＝0. 答案：x－3y＋2＝0
一、填空题
22
1．直线y＝x＋1与圆x＋y＝1的位置关系是________．
11
解析：∵d＝＝＜1， 2
1＋－12
∴直线与圆相交． 答案：相交
22
2．(2020年高考四川卷)直线x－2y＋5＝0与圆x＋y＝8相交于A、B两点，则AB＝________.
522
解析：圆心到直线的距离d＝＝5，半径R＝22，所以弦长AB＝2R－d＝28－5＝
523.
答案：23
2
3．若直线y＝x＋k与曲线x＝1－y恰有一个公共点，则k的取值范围是________．
2
解析：y＝x＋k表示一组斜率为1的平行直线，x＝1－y表示y轴的右半圆．如图所示． 答案：k＝－2或(－1,1]
22
4．(2020年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________． 解析：由题设，得若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d＜1.
|c|＝，∴0≤|c|＜13，即c∈(－13,13)． 22
1312＋－5
答案：(－13,13)
22
5．过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)＋y＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k等于________．
2222
解析：由(1－2)＋(2)＝3<4可知，点A(1，2)在圆(x－2)＋y＝4的内部，圆心为O(2,0)，
112
要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以kl＝－＝－＝. kOA－22∵d＝答案：
2
2
|c|
522
6．过坐标原点且与圆x＋y－4x＋2y＋＝0相切的直线方程为________．
2
522
解析：将方程化为标准方程：(x－2)＋(y＋1)＝，
2圆心为(2，－1)，半径长为10. 2
|2k＋1|
设直线方程为kx－y＝0，圆心到直线的距离d＝. k2＋1
|2k＋1|10
因为直线与圆相切，所以＝.
2k2＋1
1
解得k＝，或k＝－3.
3
1
所以直线方程为y＝－3x或y＝x.
3
1
答案：y＝－3x或y＝x
3
7．(2020年高考山东卷)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
解析：设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r＝|x0－1|.圆心到直线l的
|x0－1||x0－1|22
距离为d＝.由弦长为22可知()＝(x0－1)－2，
222
整理得(x0－1)＝4.
∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．
因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0
8．已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．
|a|
解析：设圆心坐标为(a,0)(a<0)，则由圆心到直线的距离为2知＝2，故a＝－2.因此
2
22
圆O的方程为(x＋2)＋y＝2.
22
答案：(x＋2)＋y＝2
9．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．
解析：直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)，即圆C的圆心坐标为(－1,0)．又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，
|－1＋0＋3|
∴圆C的半径为r＝＝2.
2
∴圆C的方程为(x＋1)＋y＝2.
22
答案：(x＋1)＋y＝2 二、解答题
22
10．已知圆C：x＋y－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切？
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．
2222
解：将圆C的方程x＋y－8y＋12＝0配方后得到标准方程x＋(y－4)＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
|4＋2a|
(1)若直线l与圆C相切，则有2＝2.
a＋1
3
解得a＝－.
43
即当a＝－时，直线l与圆C相切．
4
(2)法一：过圆心C作CD⊥AB于点D， 则根据题意和圆的性质， ，
?a＋1?
得?CD＋DA＝AC＝2，
1DA＝??2AB＝2.
22
CD＝
2
|4＋2a|
22
22
解得a＝－7或a＝－1.
即直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
??ax＋y＋2a＝0，2222
法二：联立方程组?2并消去y，得(a＋1)x＋4(a＋2a)x＋4(a＋4a2
?x＋y－8y＋12＝0，?
＋3)＝0.
设此方程的两根分别为x1，x2， 由AB＝22＝a2＋1[x1＋x22－4x1x2]， 可求出a＝－7或a＝－1.
所以直线l的方程是7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
3??22
11．一直线经过点P?－3，－?被圆x＋y＝25截得的弦长为8，求此弦所在直线方程．
2??
22
解：(1)当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x＋y＝25，得y1＝4，y2＝－4.
∴弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．
3
(2)当斜率k存在时，设所求方程为y＋＝k(x＋3)，
2
3
即kx－y＋3k－＝0.
2
由已知，弦心距OM＝ 5－4＝3， ?k·0－0＋3k－3??2?3??∴＝3，解得k＝－. 4k2＋133
所以此直线方程为y＋＝－(x＋3)，
24
即3x＋4y＋15＝0.
22
【优化方案】2020高中数学 第二章2.2.2知能优化训练 苏教版必修2
