2019年我爱数学初中生夏令营数学竞赛
说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.
第一试
1、已知当x的值分别为2、m1、m2时,多项式ax2+bx+c的值分别为0、p1、p2.如果a>b>c,并且p1p2
－cp1+ap2－ac=0,那么,能否保证:当x的值分别为m1+5、m2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.
2、在△ABC中,∠A=75°,∠B=35°,D是边BC上一点,BD=2CD. 求证:AD2
=(AC+BD)(AC－CD).
3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数
(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.
第二试
1、若2 008=an(－3)n+an－1(－3)n－
1+…+a1(－3)+a0(ai=0,±1,±2,i=0,1,…,n),
则an+an－1+…+a1+a0= .
2、能使关于x的方程x2－6x－2n=0(n∈N+)有整数解的n的值的个数等于 .
3、如果函数y=b的图像与函数y=x2－3|x－1|－4x－3的图像恰有三个交点,则b的可能值是 .
4、已知a为整数,关于x的方程x44|x|x2?1?x2?1+2－a=0有实数根.则a的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,
和谐数的个数是 .
6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x辆时,生产每一辆车的生产成本为
70-x3x万元(0 本,则至少需要生产这种汽车 辆. 7、若2019个数a1,a2,…,a2019满足a1=2,a21n?(an?2008?1a)a?1n=0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a2 n?12008008可能达到的最大值是 . 8、已知⊙O与直线l切于点M,⊙O外一定点A和⊙O都在直线l的同一侧.点A到直线l的距离大于⊙O的直径,点B在⊙O上.过点A作直线l的垂线AN,过点B作直线l的平行线BC,直线AN与 AB2BC交于点C.则当点B的位置在 时,AC的值达到最小. 9、在底角等于80°的等腰△ABC的两腰AB、AC上,分别取点D、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE= 10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n2= 16n(n+1)(2n+1). 参考答案 第一试 1、由已知得ax2 +bx+c=a(x－2)(x－c/2a), 且 4a+2b+c=0. 又由a>b>c得a>0,c<0,c/2a<0. 因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p1+a)(p2－c)=0. 则p1+a=0或p2－c=0. 解得p1=－a<0或p2=c<0. 因此,存在i(i=1或2)使得pi<0,mi>c/2a. 由已知得c=－4a－2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,mi+5>2. 当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x的值分别为m1+5、m2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°. 延长BC至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=12 ∠ACB=35°=∠ABC. 故△CAE∽△AEB. 从而,AE2=AC·BE,即AB2=AC(AC+BC).① 设F是BD的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF、△ADB中,由中线的性质分别得 AC2+AF2=2CD2+2AD2,② AD2+AB2=2DF2+2AF2.③ 由式②、③得2AC2+AB2=6CD2+3AD2.④ 将式①代入式④得3AC2+AC·BC=6CD2+3AD2. 将BC=3CD代入上式得AC2+AC·CD=2CD2+AD2. 故AD2=AC2+AC·CD－2CD2=(AC+2CD)(AC－CD)=(AC+BD)(AC－CD). 3、(1)242、243、244、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数. (2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下: 记A=4×9×121×49k(k∈N+). 由(1)可知, A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884. A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数. 第二试 1、0或±4或±8. 2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, an+an－1+…+a0=0; 2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, an+an－1+…+a0=－4; 2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, an+an－1+…+a0=－8; 2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2 +1, 此时, an+an－1+…+a0=4; 2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,an+an－1+…+a0=8. 注意到 将(－3)n变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n, 将2(－3)n变为(－1)(－3)n+1－(－3)n, 将3(－3)n变为(－1)(－3)n+1 的时候, an+an－1+…+a0的值都增加或减少4,并且当n>8时, an+an－1+…+a0的绝对值不大于8.因此,an+an－1+…+a0=0或±4或±8. 2、1. x=3±32?2n,其中, 32?2n是完全平方数.显然,n≥2. 当n≥2时,可设2n+32=(2k+1)2(k∈N+,k≥2), 即 2n－ 2=(k+2)(k－1). 显见k－1=1,k=2,n=4. 能使原方程有整数解的n的值的个数等于1. 3、－6、－25/4. 令y=x2 －3|x－1|－4x－3.则 y=x2－x－6=(x?1252)2?4,x≤1; y=x2－7x=(x?72492)?4,x>1. 当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4. 由图像知,所求b的可能值是－6、－25/4. 4、0、1、2. 令y= |x|x2?1.则0≤y<1.由 y2－4y+2－a=0 (y－2)2=2+a 1<2+a≤4 －1 注意到91=7×13. 数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3, 4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318. 若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x－[7000+ 70?x3xx]≥0 x－x－300≥0 x≥ 1? 1 2012 x≥ 601?34.62 x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆. 2 0082 0067、2. 由已知得①aan-1n?12008或②an?a, n-11只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开 始连续经过2 007次这样的变换变为a2 008. 连续两次第②类变换相互抵消,保持原数不变. 连续三次变换依次是“第①类变换、第②类变换、第①类变换”时,其中两次第①类变换相互抵消,相当于只对原数进行了一次第②类变换.因此,对2的连续2 007次变换相当于对2连续进行m次第①类变换或第②类变换,而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第②类变换.而对2连续2 007次 前2 006次为第①类变换、最后一次为第②类变换”时,a达到最大值2 0082 006变换:“20192. 8、线段AM内. 设直线AB与⊙O的另一交点为D,不妨设点B在点A和D之间.过点D作直线AC的垂线DE,垂足为E.则AB·AD=k(k是一个不变的常数), △ABC∽△ADE, AB/AC=AD/AE,AB2/AC=AB·AD/AE=k/AE. 当AE达到最大值,即点B的位置在线段AM内时,AB2/AC的值达到最小. 9、50°. 由已知∠BAC=20°,∠BCD=50°,故BC=BD,① ∠CBE=60°,∠ABE=20°. 在CE上取一点F使∠CBF=20°,则∠EBF=40°,BF=FE,② ∠DBF=60°,∠BFC=80°,BC=BF.③ 由式①、③得BD=BF,知△BDF是正三角形.于是,BF=DF.④ 由式②、④得DF=FE,知△DFE是等腰三角形. 又∠BFD=60°,知∠DFE=40°.从而,∠FED=70°,∠ADE=50°. 10、1 351 373 940. 将1,2,…,2 008分成1 004组: {1,2 008},{2,2 007},…,{1 004,1 005}. 由题设,各组中恰取出一个数.将2,4,…,2 008中的1 004,1 006,1 008,1 010分别换成同一组的1 005,1003,1001,999,其余各数不变,就是所选出的符合题目要求的1 004个数. 2+4+…+2 008－(1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999) =1 009 020－(－1+3+7+11)=1 009 000, 22+42+…+2 0082－(1 0042+1 0062+1 0082+1 0102)+(1 0052+1 0032+1 0012+9992) =4(12+22+…+1 0042)－2 009(－1+3+7+11) =2/3×1 004×1 005×2 009－2 009×20 =2 008×335×2 009－40 180=1 351 373 940. 答案与选法无关.
2019年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)
