3.2.1 古典概型
一、备用习题
1.在40根纤维中,有12根的长度超过率是（A.
） B.
30 mm,从中任取一根,取到长度超过
30 mm的纤维的概
3040
1240
C.
1230
D.以上都不对40,且它们是等可能发生
解析：在40根纤维中,有12根的长度超过的,所求事件包含答案：B
30 mm,即基本事件总数为
12个基本事件,故所求事件的概率为
12. 40
2.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( ) A.
1
B.51
C.4
810
4
D.5110
解析：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为包含8个基本事件,所以,所求概率为P（A）=率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉
10,其中抽到合格铁钉（记为事件A）
4
.（方法2）本题还可以用对立事件的概5
A）与取到不合格品（记为事件
,取到合格品（记为事件
2
B）恰为对立事件,因此,P（A）=1-P（B）=1
10
答案：C 3.在大小相同的一个红球的概率是
4. 5
5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有_____________. 5个球分别为红
1,红2,白1,白2,白3,则基本事件为：（红1,红2）,（红
白
7个基本事件,所以,所求事件的
解析：记大小相同的
1,白1）,（红1,白2），（红1,白3）,(红2,白1),(红2,白2),（红2,白3）,(白1,白1,白3),(白2,白3)共10个,其中至少有一个红球的事件包括概率为
710
.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解,对于求“至多”“至少”等事P（A）,然后利用P（A）=1-P（A）求解.
件的概率问题,常采用间接法,即求其对立事件的概率
7答案：
10
4.抛掷2颗质地均匀的骰子两颗骰子标上记号子的结果共有
,求点数和为8的概率.
1点,2点,…,6点6种不同的结果,我们把
6种不同的结果,因此同时掷两颗骰8的结果有（2,6）,（3,5）,（4,4）,
解：在抛掷2颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现
1,2以便区分,由于1,2号骰子分别有
6×6=36种,在所有结果中,向上的点数之和为
（5,3）,（6,2）5种,所以,所求事件的概率为5.豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定杂交所得第一子代的一对基因为高茎的概率（只要有基因解：由于第二子代的Dd与Dd的搭配方式共有
5
. 36
D,决定矮的基因记为
d,则
D,d基因的遗传是等可能的
,求第二子代为
.
,其中决定高的基因记为
Dd,若第二子代的
D则其就是高茎,只有两个基因全是d时,才显现矮茎）.
,故第二子代为高茎
D,d基因的遗传是等可能的,可以将各种可能的遗传情形都枚举出来
4种：DD,Dd,dD,dd,其中只有第四种表现为矮茎
- 1 -
的概率为
34
=0.75.
0.75.
答：第二子代为高茎的概率为思考：第三子代高茎的概率呢？二、古典概型经典案例分析
如果说你们班里有
50人,那么我愿意和你打赌,你们班里至少有一对生日相同的人,你愿
意站在我的反面和我打赌吗？
如果说你能够清楚地找到基本事件有理数的除法计算出概率
,分析好复杂事件包含了多少个基本事件
,就能够通过
,可能有,产生. ,不一定都
,当然,分析清楚基本事件不可缺少的就是一种顺序的观点
,但是往往在你忽略了顺序的时候
,因为记数也是一门技术
时候,用顺序的观点看问题会产生一些不必要的麻烦
那么充分小心的你很简单.
好了言归正传,我们仍然讨论这个关于生日的赌局接近十分的把握
,因为十分就成了必然事件
说我有接近十分的把握）
,可能也会犯错误
了一种错觉,于是就是你的先进的思想在这里就因为你的大意退化到了中世纪以前的水平
,甚至会感到头疼
.我看起来是有着十分的把握（或者说
,严格地
,你也可能不会愿意和
,显然,你看得出这个不是一个必然的事件
,如果你曾经了解过一些关于这个问题的结论
.
我打赌,那么我们是如何来处理这个问题呢？
我们想通过两个经典的案例来说明这个问题设有n个人,每个人都等可能地被分配到件的概率.
指定的n个房间各有一个人住；恰好有n个房间,其中各住一个人. （这里必须得有一些排列组合的内容是把n个人随机地安排到个房间里放一个人假定是
,也就要求读者具有排列组合的知识）
,分别记n个人为a1,a2,……ａn,房间为
A1里,把第一
,也就是每个安排的结果都是一个基本事
,可以考虑到整个的安排是
,因为我们只关心某
N
N个房间选住,第二个人仍然有,于是,所有人的可能的情况就是
先看清楚这个问题里面的基本事件是什么呢？
N个房间里的所有的情况
A1,A2,……Ａn每个安排的结果作为一个基本事件
,比如,可以把所有的人放到房间
N个房间中的任意一间去住（n≤N）,求下列事
a1,这个就是一个基本事件
件.那么有多少个这样的基本事件呢？我们就得借助于乘法原理了人在某个房间,而不关心他是先到还是后到个房间选住,……也就是说每个人都有
.第一个人可以有N种可能的情况
分步进行的,先安排a1,再安排a2,依次下去,这个中间的顺序是没有问题的
NN
n个
N=N.
,这里面也谈到了一个关于顺序的问题
.
,我们要求是指定的
n个房间各有一个人住
,那么,,于是,就
,我们只是看一下人与房间的搭配问题
,我们自行地把这个事件里
n
这就是基本事件的个数
面安排进了顺序,这是一个重要的思想方法
接下来统计我们需要的有利事件的个数关于这n个房间的安排问题就不用我们操心了可以得出概率： P(A)=
n!
. nN
,如果我们认为是把房间安排给人
,那么,n个指定的房间就会
,即n-1种,以此类n种选择方式,以此类
n种可能性,第二个房间就会少了一种
n种选择方式,第二个房间也有
我们可以换个角度来看一下推,结论与我们前面的一样
被列成一个顺序,于是,第一个房间有会有些不妥,因为如果考虑第一个房间有
,那么,我们如果把统计基本事件的方式也变换一下呢？结论可能
- 2 -
推,就会得到基本事件的个数是间分配给了
n个,显然,结论是不同的,哪一个出了什么问题呢？
,这个问题的对应是有问题的
,假设,我们的第一间房
,那,
.那么,我们做个改,那么看来这几个只
n
n
你只要稍加思考可能就会得出结论么就是说,我们可能统计错了一些情况进,认为第一间房间有甚至有了荒唐的结论有最初的一个方案可行明.
再对这个问题进行总结
a1,那么,第二间房间就不应该再分配给他了
n种选择方式,第二间房间有
,但在刚才的过程中没有体现出来
,同时,有些人也可能分配不到房间
n-1种行不行呢？显然这个改进更不成功
n!≤Ｎ.
,因为这里的有些房间可能是可以不分配给任何的人.同时,我们也得到了一个关于代数的结论：
这个命题的具体的限制由你自己完成,当然你还可以运用代数的方法给出让人信服的证
,就要按号入座地找好谁是房,那么,我们的有利事件,就是从集
,就是n!个,那么以后用映
,如果你再次地面临这种问题的时候
子,谁是人.或者我们也可以抽象一些,集合A有n个元素,集合B有N个元素,n≤N,那么,从集
合A到集合B的映射有多少个,就是相当于基本事件的个数射的观点来处理就可以了
,看看哪一个问题是映射
.
合A到集合B的一个含有n个元素的确定的子集的一一映射的个数
我们再来探讨第二个问题
,看看两者之间的细微的差别是什么？在第二个问题当中提到
.也就是强调我们
,
了一个“恰好”,我们如何来解释呢？显然这个词是与“指定”构成对比的子集,这个过程也是有很多的
,再把这些子集重复第一题的过程
要为这n个人先选出n个房间来,再进行处理,用到映射的观点,就是要从B中确定n个元素的
,就是全体的有利事件的个数
于是,问题就归结为统计这些子集的个数,很简单地就可以得出有
C个,那么概率就应该是
nn
P(A)=
Cn!N
n
nn
.
,好了,回味一下,你体会到了什么？,如果你没有感到困难的话就太好了
,这个问题在历史上称为“分
,可以参n个人的生
,据说在物理中就有一些非常有用的应用,这个里面哪些是基本事件呢？那一定是
剩下的就是具体的计算了你可能感觉到一些困难考我们的注解文章
现在考虑有关日情况的所有可能性
看来稍微有些麻烦
.
房问题”,我们可以进一步地拓展这个问题
n个人生日问题的事情
,也就是与前面提到的分房问题的第一问相同,我们需要了解的是
,那么生日相同（即同月同
,就得认为是,只有三个
,而
日出生）的具体的有利事件的个数如何来统计呢？
,两个人,或者两个人以上的生日相同
,只有两个人生日相同
对这个事情很有帮助的例证
,那么,我们把这个事情分为几类
人生日相同,等等,当然还有一些几组两个人的生日都相同的情况且各类之间有交叉的地方还要注意避免虑.
我们完全可以考虑这个事件的反面获胜的机会的大小
,问题足以烦得你失去信心
,事情就会变得尤其复杂
,我们能否换个角度来考
,其实,如果计算一下你获胜的概率仍然可以表示出我
,就是所有人的生日都不相同
,于是你就可
,那么你获胜的概率就可以计算出来了：
P(A)=
,那么对于你只有一种情况有利
以得到这将是一个上面分房问题叙述的第二类问题
（将N=365,闰年就不记了,直接套用前面的结论就可以了）
Cn!N
n
nn
.
可以借助你的结论得出至少两人生日相同的概率
,即：1
Cn!N
n
nn
.
- 3 -
这次只需要计算就可以了
n 概率了.
10 0.12
,
20 0.41
23 0.51
30 0.71
,如果班级里超过
40 0.89
50 0.97
看来事情的结果对于选择打赌的你有些不利这可能极大地冲击了你的视觉地说,只是关注于在该是
50人,几乎就是必然的规律
,确切
,原因很简单,我们只是在意与自己生日相同的情况
n个人中,至少有一个人的生日是特定的某一天的概率,这个不会很大,应
n,随着人数的增长,这个比率会平稳地增长,当然,这个与上述表格的数据的差别是很
365
大的,表格中的数据增长是不均匀的
,但是你把这个习惯主观推广了
这里面从反面入手,巧妙地运用分房问题的思路解决了这个问题
用.
,问题就出现了. ,这种思想方法要学会运
- 4 -
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