第3课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正、余弦函数的图象与性质 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1,1] ππ??在?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)上递22??单调性 增， π3π??在?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z)上22??递减 [－1,1] 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增， 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减 x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 最值 π2π2x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 状元随笔 (1)正、余弦函数的单调性：
①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；
②单调区间要在定义域内求解；
③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断． (2)正、余弦函数的最值
①明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1, |cosx|≤1；
②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；
③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( )
(2)正弦函数y＝sin x的一个增区间是[0，π]．( )
(3)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
?π?2．函数y＝sin?x＋?，x∈R在( )
2??
?ππ?A.?－，?上是增函数 B．[0，π]上是减函数
?22?
C．[－π，0]上是减函数 D．[－π，π]上是减函数
?π?解析：y＝sin?x＋?＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函
2??
数．
答案：B
3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A．y＝cos|x| B．y＝cos|－x|
x?π?C．y＝sin?x－? D．y＝－sin 2?2?
解析：y＝cos|x|在(0，π)上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝
?π??π?sin?x－?＝－sin?－x?＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－
2???2?
sin在(0，π)上是单调递减的． 2
答案：C
π
4．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
2A．－1,3 B．－1,1 C．0,3 D．0,1
π
解析：∵－1≤cosx≤1，∴－1≤y≤3.
2答案：A
x
类型一 正、余弦函数的单调性
?π?例1 (1)函数f(x)＝sin?x＋?的一个递减区间是( )
6??
?ππ?A.?－，? ?22?
B．[－π，0] 2??2
C.?－π，π?
3??3
?π4π?D.?，? 3??3
π??(2)函数y＝cos?2x－?的单调递增区间是________．
3??【解析】 (1)由间．
πππ
(2)因为－π＋2kπ≤2x －≤2kπ，k∈Z.所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
336ππ??【答案】 (1)D (2)?kπ－，kπ＋?(k∈Z) 36??
(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋的范围，验证是否为减区间．
6
(2)将2x－代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间．
3 方法归纳
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；②若A<0，则单调性相反．
跟踪训练1 (1)下列函数，在?A.y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
π4ππ3?π4π?≤x≤π，可得≤x＋≤π.所以?，?是函数的一个减区
3?33262?3
ππ?π，π?上是增函数的是( )
??2?
?π?(2)求函数y＝2sin?－2x?的单调递增区间．
?3?
解析：(1)因为y＝sin x与y＝cos x在?
?π，π?上都是减函数，所以排除A，B.
?
?2?
π
因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin 2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，
2所以排除C.
π??π??(2)由y＝2sin?－2x?，得y＝－2sin?2x－?. 3??3??
π??π??∴要求函数y＝2sin?－2x?的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin?2x－?的单调递
3??3??减区间．
ππ3π5π11π
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 2321212∴函数的单调递增区间为?答案：(1)D (2)?
?5π＋kπ，11π＋kπ?(k∈Z)．
?12?12?
?5π＋kπ，11π＋kπ?(k∈Z)
?12?12?
π?(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．
(2)首先利用诱导公式化简函数为y＝－2sin?2x－?，再利用性质求增区间．
3??
类型二 比较三角函数值的大小 例2 比较下列各组数的大小： (1)sin 250°与sin 260°； 15π14π
(2)cos与cos.
89
?
?π3π?【解析】 (1)∵函数y＝sin x在?，?上单调递减，且90°<250°<260°<270°，
2??2
∴sin 250°>sin 260°.
π?15ππ14π4π4π?(2)cos＝cos?2π－?＝cos，cos＝cos2π－＝cos.
8?88999?π4π
∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0<<<π，
89π4π15π14π∴cos>cos，∴cos>cos. 8989
利用诱导公式，将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内，利用单调性判断大小． 方法归纳
比较三角函数值大小的方法
(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值． (2)不同名的函数化为同名函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
跟踪训练2 比较下列各组数的大小． 49?37?(1)sin?－π?与sinπ； 3?6?(2)cos 870°与sin 980°.
π?π?49?37???π??解析：(1)sin?－π?＝sin?－6π－?＝sin?－?，sinπ＝sin?16π＋?＝
6?3?3?6???6??π
sin，
3
π49?ππ??π??37?因为y＝sin x在?－，?上是增函数，所以sin?－? (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°， 即cos 870°>sin 980°. 首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小． 类型三 正、余弦函数的最值问题 π??例3 函数y＝2cos?2x＋?－1的最小值是______，此时x＝______. 6??π5π 【解析】 当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z时， 612 ymin＝－2－1＝－3. 【答案】 －3 5π ＋kπ，k∈Z 12 观察函数解析式特点，由y＝cos?2x＋?的最小值，求函数y＝2cos?2x＋?－1的最 6?6???小值，并求x的取值． ? π? ? π?
2024-2024学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2.3 正弦函数、余弦函数的单调性与最
