第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积)
一、知识梳理
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l 2.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥 体(棱锥和圆锥) 台 体(棱台和圆台) 球 常用结论
1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r＝
3
a(a为正方体的棱长)． 2表面积 S表面积＝S侧＋2S底 S表面积＝S侧＋S底 S表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝4πR2 体积 V＝S底h 1V＝S底h 31V＝(S上＋S下＋S上S下)h 34V＝πR3 3a
(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝(a为正方体的棱长)．
2(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r＝面体的外接球、内切球的球心和半径
2
a(a为正方体的棱长).2.正四2
(1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)． (2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝(3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝二、教材衍化
1．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________．
解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， 所以r2＝4，所以r＝2. 答案：2 cm 2．
6
a(a为正四面体的棱长)． 4
6
a(a为正四面体的棱长)． 12
如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
11111解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×
322221147
c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47. 484848
答案：1∶47
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积； (2)考虑不周忽视分类讨论；
(3)几何体的截面性质理解有误； (4)混淆球的表面积公式和体积公式．
1．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
解析：根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱1
锥的高为3 m．故该四棱锥的体积V＝×2×1×3＝2(m3)．
3
答案：2
2．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．
解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.
答案：32π2＋8π或32π2＋32π
3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________．
解析：因为过直线O1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.
答案：12π
4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________．
432解析：设球的半径为R，则由4πR2＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为πR3＝π.
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答案：π
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2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第八章 第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积)
