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2.2.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形. 知识点一 椭圆的几何性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程:C1:+=1,C2:+=1.
25162516思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点?交点坐标分别是什么? 思考2 椭圆具有对称性吗?
思考3 椭圆C1、C2中x,y的取值范围分别是什么? 梳理
标准方程 图形 焦点 焦距 性质 范围 对称性 顶点 轴 知识点二 椭圆的离心率 思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样,哪些量影响其扁平程度?怎样刻画? 梳理 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比e=,叫做椭圆的________.
(2)性质:离心率e的取值范围是________,当e越接近于1,椭圆越________,当e越接近于________,椭圆就越接近于圆. 类型一 由椭圆方程研究其几何性质
例1 求椭圆9x+16y=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 引申探究
已知椭圆方程为4x+9y=36,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和定义,求椭圆的基本量.
2
2
2
2
x2y2y2x2
x2y2+=1(a>b>0) a2b2 y2x2+=1(a>b>0) a2b2F1F2=2c (c=a-b) 22F1F2=2c (c=a-b) 22关于____________对称 长轴长________,短轴长________ ca1word版本可编辑.欢迎下载支持.
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跟踪训练1 设椭圆方程mx+4y=4m(m>0)的离心率为,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦
2点坐标及顶点坐标. 类型二 求椭圆的离心率
命题角度1 与焦点三角形有关的求离心率问题
x2y2
例2 椭圆2+2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正
ab三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.
反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e= 求解.
b21-2
ax2y23a跟踪训练2 设F1,F2是椭圆E:2+2=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,
ab2
△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为________. 命题角度2 利用a,c的齐次式,求椭圆的离心率(或其取值范围)
x2y2
例3 (1)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2 作x轴的垂线与Cab相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率为________.
x2y2
(2)若椭圆2+2=1(a>b>0)上存在一点M,使得∠F1MF2=90°(F1,F2为椭圆的两个焦点),则
ab椭圆的离心率e的取值范围是________.
反思与感悟 若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a=b+c,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
跟踪训练3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________.
类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程 例4 (1)椭圆过点(3,0),离心率e=
6
,求椭圆的标准方程; 3
2
2
2
(2)已知椭圆的中心在原点,它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1,B2的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10-5,求这个椭圆的方程.
反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a,b,c所应满足的关系式,进而求出
a,b.在求解时,需注意当焦点所在位置不确定时,应分类讨论.
跟踪训练4 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程: (1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);
(2)焦点在x轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为6.
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1.椭圆+=1的上顶点与右顶点之间的距离为________.
1625
2.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且焦距为2,则此椭圆的标准方程为________________________.
3.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为________.
4.已知点(m,n)在椭圆8x+3y=24上,则2m+4的取值范围是________________.
2
2
x2y2
x2y2
5.过椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2
ab=60°,则椭圆的离心率为________.
1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式,应先化成标准形式.
2.根据椭圆的几何性质,可以求椭圆的标准方程,其基本思路是“先定型,再定量”,常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中,能确定类型的量有焦点、顶点,而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.
3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.
提醒:完成作业 第2章 §2.2 2.2.2(一)
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答案精析
问题导学 知识点一
思考1 对于方程C1:令x=0,得y=±4,即椭圆与y轴的交点坐标为(0,4)与(0,-4);令y=0,得x=±5,即椭圆与x轴的交点坐标为(5,0)与(-5,0).同理得C2与y轴的交点坐标为(0,5)与(0,-5),与x轴的交点坐标为(4,0)与(-4,0).
思考2 有.问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形,也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形.
思考3 C1:-5≤x≤5,-4≤y≤4;
C2:-4≤x≤4,-5≤y≤5.
梳理 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a x轴、y轴和原点 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0) 2a 2b 知识点二
思考 如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0 例1 解 将椭圆方程化成标准方程为+=1, 169于是a=4,b=3,c=16-9=7. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6, 离心率e==cacax2y2 ca7 .又知焦点在x轴上, 4 ∴两个焦点坐标分别是F1(-7,0)和F2(7,0), 四个顶点坐标分别是A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3)和B2(0,3). 引申探究 解 把椭圆的方程化为标准方程为+=1, 94可知此椭圆的焦点在x轴上,且长半轴长为a=3, 短半轴长为b=2. 又得半焦距为c=a-b=9-4=5. 所以椭圆的长轴长为2a=6,短轴长为2b=4;两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0); 2 2 x2y2 4word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集,已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 四个顶点的坐标分别是(-3,0),(3,0),(0,-2),(0,2);离心率e== ca5. 3 x2y21 跟踪训练1 解 将椭圆方程化为标准形式为+=1,且e=. 4m2 (1)当0 顶点坐标为A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-3),B2(0, 3). 83 (2)当m>4时,长轴长和短轴长分别为,4. 32323 焦点坐标为F1(0,-),F2(0,). 33 4343 顶点坐标为A1(0,-),A2(0,),B1(-2,0),B2(2,0). 33例2 3-1 3 跟踪训练2 4例3 (1) 32 (2)[,1) 32 3 跟踪训练3 5 例4 解 (1)∵所求椭圆的方程为标准方程, 又椭圆过点(3,0),∴点(3,0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在x轴上时,(3,0)为右顶点,则a=3. ∵e==2 2 ca666 ,∴c=a=×3=6, 333 2 2 2 ∴b=a-c=3-(6)=9-6=3, ∴椭圆的标准方程为+=1. 93 ②当椭圆的焦点在y轴上时,(3,0)为右顶点,则b=3. ∵e==x2y2 ca66 ,∴c=a, 33 22122222 ∴b=a-c=a-a=a, 33∴a=3b=27, ∴椭圆的标准方程为+=1. 279 2 2 y2x2 5word版本可编辑.欢迎下载支持.
2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_2椭圆的几何性质一学案苏教版选修1_1
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