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2．2.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形． 知识点一 椭圆的几何性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：＋＝1，C2：＋＝1.
25162516思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标分别是什么？ 思考2 椭圆具有对称性吗？
思考3 椭圆C1、C2中x，y的取值范围分别是什么？ 梳理
标准方程 图形 焦点 焦距 性质 范围 对称性 顶点 轴 知识点二 椭圆的离心率 思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？ 梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的________．
(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆． 类型一 由椭圆方程研究其几何性质
例1 求椭圆9x＋16y＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究
已知椭圆方程为4x＋9y＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
2
2
2
2
x2y2y2x2
x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2 y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2F1F2＝2c (c＝a－b) 22F1F2＝2c (c＝a－b) 22关于____________对称 长轴长________，短轴长________ ca1word版本可编辑.欢迎下载支持.
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跟踪训练1 设椭圆方程mx＋4y＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦
2点坐标及顶点坐标． 类型二 求椭圆的离心率
命题角度1 与焦点三角形有关的求离心率问题
x2y2
例2 椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正
ab三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝ 求解．
b21－2
ax2y23a跟踪训练2 设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，P为直线x＝上一点，
ab2
△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________． 命题角度2 利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
x2y2
例3 (1)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2 作x轴的垂线与Cab相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．
x2y2
(2)若椭圆2＋2＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则
ab椭圆的离心率e的取值范围是________．
反思与感悟 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a＝b＋c，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程 例4 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝
6
，求椭圆的标准方程； 3
2
2
2
(2)已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．
反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出
a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．
跟踪训练4 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
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1．椭圆＋＝1的上顶点与右顶点之间的距离为________．
1625
2．若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________________．
3．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
4．已知点(m，n)在椭圆8x＋3y＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．
2
2
x2y2
x2y2
5．过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2
ab＝60°，则椭圆的离心率为________．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
提醒：完成作业 第2章 §2.2 2.2.2(一)
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答案精析
问题导学 知识点一
思考1 对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点坐标为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点坐标为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点坐标为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点坐标为(4,0)与(－4,0)．
思考2 有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
思考3 C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；
C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
梳理 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a x轴、y轴和原点 (±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0) 2a 2b 知识点二
思考 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0 例1 解 将椭圆方程化成标准方程为＋＝1， 169于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝＝cacax2y2 ca7 .又知焦点在x轴上， 4 ∴两个焦点坐标分别是F1(－7，0)和F2(7，0)， 四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)． 引申探究 解 把椭圆的方程化为标准方程为＋＝1， 94可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长为a＝3， 短半轴长为b＝2. 又得半焦距为c＝a－b＝9－4＝5. 所以椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)； 2 2 x2y2 4word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)；离心率e＝＝ ca5. 3 x2y21 跟踪训练1 解 将椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝. 4m2 (1)当0 顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－3)，B2(0, 3)． 83 (2)当m>4时，长轴长和短轴长分别为，4. 32323 焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)． 33 4343 顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2,0)，B2(2,0)． 33例2 3－1 3 跟踪训练2 4例3 (1) 32 (2)[，1) 32 3 跟踪训练3 5 例4 解 (1)∵所求椭圆的方程为标准方程， 又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点． ①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3. ∵e＝＝2 2 ca666 ，∴c＝a＝×3＝6， 333 2 2 2 ∴b＝a－c＝3－(6)＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 93 ②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3. ∵e＝＝x2y2 ca66 ，∴c＝a， 33 22122222 ∴b＝a－c＝a－a＝a， 33∴a＝3b＝27， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 279 2 2 y2x2 5word版本可编辑.欢迎下载支持.
2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_2椭圆的几何性质一学案苏教版选修1_1
