【课时训练】课时3 导数与函数的综合问题
一、选择题
1．(2024海南中学模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)xf ′?x?－f?x?2
＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集2
x是( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】D
xf ′?x?－f?x??f?x??f?x?
??【解析】∵当x>0时，＝′<0，∴φ(x)＝x在x2?x?(0，＋∞)为减函数，
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在R上单调递增． ∵f(2)＝0，∴在(0,2)内恒有f(x)>0；在(2，＋∞)内恒有f(x)<0. 故在(－∞，－2)内恒有f(x)>0；在(－2,0)内恒有f(x)<0. 故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．
2．(2024河北故城模拟)若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，7] C．(－∞，0] 【答案】B
【解析】令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f ′(x)＝3x2－6x－9， 令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)． ∵f(－1)＝7, f(－2)＝0, f(2)＝－20， ∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.
3．(2024贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：
B．(－2,0)∪(0,2) D．(－∞，－2)∪(0,2)
B．(－∞，－20] D．[－12,7]
x f(x) －1 0 1 2 2 0 3 2 4 0 f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示．当1 A．1 C．3 【答案】D B．2 D．4 【解析】根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2,1 4．(2024河南濮阳一模)函数f(x)的导函数为f ′(x)，若?x∈R恒有f ′(x) A．(－∞，1) C．(2，＋∞) 【答案】D f′?x?－f?x?f?x? 【解析】设函数g(x)＝ex，则g′(x)＝<0， ex∴g(x)在R上单调递减，不等式f(x)>e x－2 B．(1，＋∞) D．(－∞，2) f?x?1 可转化为ex>e2.∵g(2) f?2?1f?x?f?2? ＝e2＝e2，∴ex>e2，∴x＜2，∴x∈(－∞，2)．故选D. 二、填空题 π???5．(2024大连模拟)函数y＝x＋2cos x在区间0，2?上的最大值是??________． π 【答案】6＋3 π??π??【解析】y′＝1－2sin x，令y′＝0，又x∈0，2，得x＝6，则??π?π???ππ?? x∈?0，6?时，y′>0；x∈?6，2?时，y′<0.故函数y＝x＋2cos x在?0，6? ? ? ? ? ? ? ?ππ?π ??上单调递增，在6，2上单调递减，所以当x＝6时，函数取得最大值?? π 6＋3. x 6．(2024安徽江南名校联考)已知x∈(0,2)，若关于x的不等式ex< 1 恒成立，则实数k的取值范围为________． k＋2x－x2 【答案】[0，e－1) 【解析】依题意，知k＋2x－x2>0，即k>x2－2x对任意x∈(0,2)恒成立，从而k≥0， ex2 因此由原不等式，得k ?ex?ex2 ?令f(x)＝x＋x－2x，则f ′(x)＝(x－1)x2＋2?. ?? 令f ′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1,2)时， f ′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上单调递增；当x∈(0,1)时， f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上单调递减．所以k 故实数k的取值范围是[0，e－1)． 三、解答题
2024届高考数学(理)一轮复习课时训练：第3章导数及其应用14-3Word版含解析
