2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是函数的维数小于p。 2.2设二维随机向量(X1X?(X1,X2,LXp)?的联合分布密
X?(X1,X2,LXp)?的子向量的概率分布，其概率密度
X2)?服从二元正态分布，写出其联合分布。
2???12?1?2??，协方差矩阵为?，则其联合分布密2???21?2?解：设(X1度函数为
X2)?的均值向量为μ???12?1???1?12?f(x)????2??2????21?2?2?1/2?12?????1?12?1?exp??(x?μ)??(x?μ)?。 2?2???212?????2.3已知随机向量(X1X2)?的联合密度函数为
f(x1,x2)?其中a2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]
(b?a)2(d?c)2?x1?b，c?x2?d。求
X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； X1和X2的协方差和相关系数；
（1）随机变量（2）随机变量（3）判断
X1和X2是否相互独立。
X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；
（1）解：随机变量
dfx1(x1)??c2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]dx
(b?a)2(d?c)2dd2[(b?a)(x?c)?2(x?a)(x?c)]2(d?c)(x1?a)x2212??dx2 ?2222(b?a)(d?c)cc(b?a)(d?c)d?c2[(b?a)t?2(x?a)t]2(d?c)(x1?a)x21?dt 2222?0(b?a)(d?c)c(b?a)(d?c)dd?cd?2(d?c)(x1?a)x2[(b?a)t2?2(x1?a)t2]??(b?a)2(d?c)2c(b?a)2(d?c)20?1 b?a2?b?a?b?a所以 由于X1服从均匀分布，则均值为，方差为
212。
同理，由于
X2服从均匀分布
?1?fx2(x2)??d?c??0x1??c,d?其它，则均值为
d?c，方差2?d?c?为
122。
（2）解：随机变量
X1和X2的协方差和相关系数；
cov(x1,x2)??
dca?b??d?c?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]?x?x?dx1dx21??2?22?a?22(b?a)(d?c)????b?(c?d)(b?a)
36??cov(x1,x2)?x?x1?21 3（3）解：判断
X1和X2是否相互独立。
X1和X2由于f(x1,x2)?fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。
2.4设
X?(X1,X2,LXp)?服从正态分布，已知其协方差矩阵?为对角阵，证明其分量是相互独立的随
机变量。
解： 因为
X?(X1,X2,LXp)?的密度函数为
p?1??1/2?1??1?f(x1,...,xp)??Σexp?(x?μ)Σ(x?μ)?? ??2??2????12?2?2?又由于Σ??O???22 Σ??12?2L?p??? ??2??p??1??2?1??Σ?1???????12?2O?????? 则f(x1,...,xp) ??1?2??p???1???2??1??p?1/2?1?1??222?1???Σ???L?exp?(x?μ)Σ??12p??2?2????????????
12?2O??????????(x?μ)??????1??2???p??p222??11(xp??p)??1??1(x1??1)1(x2??3)?????L?exp???...????? 12p?2222?2?2?2?????12p???(xi??i)2?1??exp????f(x1)...f(xp) 则其分量是相互独立。 22?i?i?1?i2??p2.6 渐近无偏性、有效性和一致性； 2.7 设总体服从正态分布，X~Np(μ,Σ)，有样本X1,X2,...,Xn。由于X是相互独立的正态分布随
机向量之和，所以X也服从正态分布。又
n?n?nE(X)?E??Xin???E?Xi?n??μn?μi?1?i?1?i?11nΣ?n?1nD(X)?D??Xin??2?D?Xi??2?Σ? 所以X~Np(μ,Σ)。
ni?1n?i?1?ni?12.8 方法1：
nn11???ΣXiX??(Xi?X)(Xi?X)??n?1?i?nXX n?1i?1i?1
n11?n?????E(Σ)?E(?XiX??nXX)?EXX?nEXX????i?ii? n?1i?1n?1??i?1?1?nΣ?1 ?Σ?n?(n?1)Σ?Σ。 ???n?1?i?1n?n?1方法2：S?
?????(Xi-X)(Xi-X)????X-μ?(X?μ)X-μ?(X?μ)?i??i?i?1i?1nnn
??(Xi-μ)(Xi-μ)??2?(Xi-μ)(X-μ)??n(X?μ)(Xμ?Xμ)?
i?1i?1n
??(Xi-μ)(Xi-μ)??2n(X?μ)(X?μ)??n(X?μ)(X?μ)?
i?1nn
??(Xi-μ)(Xi-μ)??n(X?μ)(X?μ)?
i?1S1?n?E()?E??(Xi-μ)(Xi-μ)??n(X?μ)(X?μ)?? n?1n?1?i?1?S1?n??? ?。 故为Σ的无偏估计。 E(X-μ)(X-μ)?nE(X?μ)(X?μ)?Σ?ii??n?1n?1?i?1?2.9.设X(1),X(2),...,X(n)是从多元正态分布X~Np(μ,Σ)抽出的一个简单随机样本，试求S的分布。
???证明： 设Γ??????令Ζ=(Ζ1***1n**LL*L1Ln*??*?*??(?ij)为一正交矩阵，即Γ?Γ?I。 ?1??n?Ζ2LΖn)=?X1X2LXn?Γ?，
由于Xi(i?1,2,3,4,Ln)独立同正态分布,且Γ为正交矩阵
所以???(?1?2L?n)独立同正态分布。且有
1Ζn?n1nE(Χi)?nμ，Var(Zn)?Σ。 Χi，E(Ζn)???ni?1i?1nnE(Ζa)?E(?rajΧj)j?1(a?1,2,3,L,n?1)
?n?rajj?1nn1?rnj?0 μ ?nμ?rajni?1nVar(Ζa)?Var(?rajΧj)
j?12??rVar?Χj??Σ?raj?Σ
2ajj?1j?1nn所以Ζ1Ζ2LΖn?1独立同N(0,Σ)分布。又因为S??(Xj?X)(Xj?X)?
i?1n??XjX?j?nXX?
j?1n1n1n?????Xi??nXi??ZnZ?因为nXX??n?n??n ni?1??ni?1??n又因为
?XX???Xjjj?11X2????X1???X?2?Xn?????X1????X???n?X2L?X?1????X2??? Xn?ΓΓ?M???X????n???Z1Z2L?Z?1????Z2?? Zn??M???Z????n?njjnn所以原式
?XX??ZZ???ZZ??ZZ?jjnnj?1j?1n??Z2Z????Z1Z12?...?ZnZn-ΖnΖn
故S???j??jj?1n?1j?1n?1，由于Z1,Z2,L,Zn?1独立同正态分布Np(0,Σ)，所以
S???j??j~Wp(n?1,?)
2.10.设
Xi(ni?p)是来自Np(μi,Σi)的简单随机样本，i?1,2,3,L,k，
?μ2?...?μk?μ且Σ1?Σ2?...?Σk?Σ，求μ和Σ的估计。 ?Σ2?...?Σk?Σ求μ1,μ2,...,,μk和Σ的估计。
（1）已知μ1（2）已知Σ1??解：（1）μx?1n1?n2?...?nk??xa?1i?1pknaai，
??Σ???xa?1i?1knaai?x??xia?x??
n1?n2?...?nk (2)
lnL(μ1,L,μk,Σ)?ln??(2?)Σ???n21knaaexp[???(xi-μa)?Σ-1(xia-μa)]
2a?1i?1
应用多元统计分析课后答案
