第二节 函数的单调性与最值
A组 基础题组
1.已知函数f(x)=√??2-2x-3,则该函数的单调递增区间为( ) A.(-∞,1] B.[3,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞)
答案 B 设t=x2-2x-3,由t≥0得x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为直线x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
2.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( ) A.f(-1)
答案 A 依题意得f(3)=f(1),因为-1<1<2,函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以f(-1) 3.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a B.1 C.6 D.12 答案 C 由已知可得,当-2≤x≤1时, f(x)=x-2,此时f(x)递增, 当1 ∴f(x)的最大值为f(2)=23-2=6. 4.(2024陕西联考)已知函数f(x)={ 3(??-3)??+2,??≤1, 对任意的x1≠x2都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0 -4??-ln??,??>1 成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,3] B.(-∞,3) C.(3,+∞) D.[1,3) 答案 D 由(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0,得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在R上单调递减,所以{ ??-3<0, 解得1≤a<3.故选D. 3(??-3)+2≥-4??, 5.函数y=√??-x(x≥0)的最大值为 . 答案 4 解析 令t=√??,则t≥0,y=t-t=-(??-2)+4,当t=2,即x=4时,ymax=4. 2 1 121 111 1 / 4 1,??>0, 6.设函数f(x)={0,??=0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是 . -1,??<0,答案 [0,1) ??2,x>1, 解析 易知g(x)={0,??=1,画出g(x)的图象如图所示,其递减区间是[0,1). -??2,x<1. 7.若函数f(x)=??在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为4,则a= . 答案 4 解析 易知f(x)=在(0,+∞)上是减函数, ??11 3 ∵[2,a]?(0,+∞),∴f(x)=??在[2,a]上也是减函数, ∴f(x)max=f(2)=2, f(x)min=f(a)=??, ∴2+??=4,∴a=4. 8.已知函数f(x)=??-??(a>0,x>0). (1)求证: f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)在[2,2]上的值域是[2,2],求a的值. 解析 (1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则x2-x1>0,x1x2>0, f(x2)-f(x1)=(??-??)-(??-??)=??-??=??2??1>0,∴f(x2)>f(x1), 2 1 1 2 12 1 11 113 11 11 111111??-?? ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)∵f(x)在[2,2]上的值域是[2,2], f(x)在[2,2]上单调递增, ∴f(2)=2, f(2)=2.易得a=5. 9.判断并证明函数f(x)=ax2+??(其中1 22 证明如下:设1≤x1 2 1 11 1 112 1 111 1??2 ], 2 / 4 由1≤x1 1 1??2 <-4. 1 又1 1 1??2 >0,故f(x2)-f(x1)>0, 即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时, f(x)在[1,2]上单调递增. B组 提升题组 1.(2024山东青岛模拟)若f(x)=-x2+4mx与g(x)=??+1在区间[2,4]上都是减函数,则m的取值范围是( ) A.(-∞,0)∪(0,1] B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,+∞) D.(0,1] 答案 D 函数f(x)=-x2+4mx的图象开口向下,且以直线x=2m为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m≤2,解得m≤1;g(x)=??+1的图象由y= 2?? 2???? 2?? 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是 减函数,则2m>0,解得m>0.综上可得,m的取值范围是(0,1].故选D. 2.(2024甘肃肃南调研)已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是 . 答案 (-√5,-2)∪(2,√5) 解析 因为函数f(x)=ln x+2x在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(x2-4)<2得f(x2-4) 3.已知函数f(x)=ax+??(1-x)(a>0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值. 解析 f(x)=(??-??)x+??, 当a>1时,a-??>0, 此时f(x)在[0,1]上为增函数, ∴g(a)=f(0)=??. 当0 此时f(x)在[0,1]上为减函数, ∴g(a)=f(1)=a. 3 / 4 111 1 11 当a=1时, f(x)=1,此时g(a)=1. ??,0 ∴g(a)={1 ,a≥1.?? ∴g(a)在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为减函数, ∴当a=1时,g(a)取最大值1. 4.已知f(x)=??-??(x≠a). (1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. 解析 (1)证明:任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1 ??1 1 ?? -+2?? ??2 2 =+2(?? 2(??1-??2) 1+2)(??2+2) . 因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ??1 1 --a?? ??2 2 =-a(?? ??(??2-??1) 1-a)(??2-a) . 因为a>0,x2-x1>0,又由题意知f(x1)-f(x2)>0, 所以(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1. 所以0 4 / 4
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