第二部分 专题三 类型三
1.“五一”节,小莉和同学一起到游乐场玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20 m,匀速旋转1周需要12 min.小莉乘坐最底部的车厢(离地面0.5 m)开始1周的观光,5 min后小莉离地面的高度是多少?(精确到0.1 m.下列数据供参考:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236)
解:如答图,设经过5 min后,小明从点B到达点C的位置.由题意知,OC=20,∠COA5
=360°×=150°.延长AO交⊙O于点E,过点C作CD⊥AE,垂足为D.
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在Rt△COD中,∵∠COD=180°-∠COA=180°-150°=30°,∴OD=OC·cos∠COD=20×cos 30°=103.∴AD=AB+BO+OD=0.5+20+103≈37.8(m).
答:5 min后小莉离地面的高度约为37.8 m.
2.(2018·遂川模拟)如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌,其侧面简化结构如图2所示,直线型支架的上端A,B与台面下方相连,与圆弧形底座支架EF在C,D处相连接,支︵︵︵
架AC与BD所在的直线过EF 的圆心,若AB=200 cm,∠CAB=∠DBA=60°,EC =FD ,AB︵
平行于地面EF,EF 最顶端与AB的距离为2 cm.
︵
(1)求EF 的半径;
(2)若台面AB与地面EF之间的距离为72 cm,求E,F两点之间的距离. (精确到1 cm,参考数据:3≈1.7,168-98≈137)
22
︵
解:(1)如答图,延长AC,BD交于一点O,过O点作OM⊥AB于M交EF 于点N,EF交OM于点K.
1
第2题答图
∵∠CAB=∠DBA=60°, ∴△AOB是等边三角形, ∴OA=OB=AB=200 cm, ∵OM⊥AB,∴OM=1003,
︵
∵MN=2,∴ON=1003-2=168(cm),∴EF 的半径为168 cm. (2)连接OF.在Rt△OFK中,OK=OM-KM=170-72=98, ∴FK=OF-OK=168-98≈137(cm), ∵EF∥AB,OM⊥AB,∴OK⊥EF,∴EK=KF, ∴EF=274 cm.
3.如图是某种直径型号的地球仪的支架示意图,弧AB是半圆弧,经测量点A距离水平线CD的距离为27.7厘米, 点B距离水平线CD的距离为9.4厘米,直径AB所在直线与竖直线形成的锐角为23.5°,试问它是哪种直径型号的地球仪的支架?(计算结果精确到个位,可使用科学计算器,参考数据:sin23.5°≈0.3987, cos23.5°≈0.9171,tan23.5°≈0.4348)
2222
解:如答图,过点A作AF⊥CD于点F,过点B作BH⊥CD于点H,连接BE,AB,
第3题答图
∵弧AB是半圆弧,∴AB是直径, ∴∠AEB=90°,∴∠BEF=90°, ∵AF⊥CD,BH⊥CD, ∴四边形BEFH是矩形, ∴EF=BH=9.4,
∴AE=AF-EF=27.7-9.4=18.3.
2
AE18.3
∵∠FAB=23.5°,∴AB==≈20,
cos23.5°0.9171
∴它是直径约为20厘米的地球仪的支架.
4.(2017·赣州模拟)摇椅是老年人很好的休闲工具,右图是一张摇椅放在客厅的侧面︵︵
示意图,摇椅静止时,以O为圆心OA为半径的AB 的中点P着地,地面NP与AB 相切,已知∠AOB=60°,半径OA=60 cm,靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°,C为OA的中点,CD=︵
80 cm,当摇椅沿AB 滚动至点A着地时是摇椅向后的最大安全角度.
(1)静止时靠背CD的最高点D离地面多高?
(2)静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是多少时?才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰.
(精确到1 cm,参考数据π取3.14,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36,2≈1.41,3≈1.73)
解:(1)如答图1,过F点作CF⊥DF,DF∥NP,CF和DF交于点F,则∠DFC=90°. ︵
∵P为AB 的中点,∠AOB=60°,∴∠COP=30°. 又∵OP∥FC,∴∠FCO=30°, ∴∠DCF=180°-127°-30°=23°. 在Rt△DFC中,cos∠DCF=
FC, CD
∴FC=80×cos23°=80×sin67°=80×0.92=73.6. 在Rt△COE中,cos∠COE=
OE, OCOE=30×cos30°=30×3
=153. 2
D离地面总高度为CF+EP=CF+(OP-OE)=73.6+60-153≈107.62≈108(cm);
(2)如答图2,过点C作CE⊥MN,垂足为E, 则∠DCE=127°-90°=37°.
3
在Rt△DCE中,cos∠DCE=
EC, CD∴EC=80×cos37°=80×0.8=64.
AP′=30π·60
=10π=10×3.14=31.4. 180
NP=EC+AP′=64+31.4=95.4≈96.
答:静止时的着地点P至少要离墙壁MN的水平距离为96 cm时,才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰.
5.(2019·原创)如图,有一时钟,时针OA长为6 cm,分针OB长为8 cm,△OAB随着时间的变化不停地改变形状.求:
(1)13时整时, △OAB的面积是多少?
(2)14时整时, △OAB的面积比13时整时增大了还是减少了?为什么? (3)问几时整时, △OAB的面积最大?最大面积是多少?并说明理由.
(4)设∠BOA=α(0°≤α≤180°),试归纳α变化时△OAB的面积有何变化规律(不证明).
解:如答图,分别过B作BE⊥OA于点E.(E也可在OA的延长线上) (1)如答图1,在13时整时, ∠BOA=30°,
BE=OB=4,S△OAB=×4×6=12(cm2).
(2)如答图2,在14时整时,∠BOA=60°,=sin60°,BE=8××43×6=123.
∵123>12,
∴14时整时比13时整的△ABO的面积增大了.
1212
BEOB31=43,S△OAB=22
(3)当15时或21时整时,如答图3,△OAB的面积最大, 此时BE最长,BE=OB=8,而OA不变,
S△ABO=×8×6=24.
1
2
4
(4)当α=0°,180°时不构成三角形,
当0°<α≤90°时,S△AOB的值随α增大而增大, 当90°<α<180°时,S△AOB的值随α增大而减少.
6.(2018·江西样卷)如图1是一个演讲台,图2为演讲台的侧面示意图,支架BC是一条圆弧,台面与两支架的连接点A,B间的距离为30 cm, CD为水平底面,且BD所在的直线垂直于底面,∠ADC=75°,∠DAB=60°.
(1)求台面上点B处的高度(精确到个位);
(2)如图3,若圆弧BC所在圆的圆心O在CD延长线上,且OD=CD,求支架BC的长度(结果保留根号).
(参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,3≈1.7)
解:(1)如答图,连接BD,过点B作BE⊥AD,垂足为E. 在Rt△ABE中,BE=AB· sin∠EAB=30×sin60°=30×∵∠ADC=75°,∴∠ADB=90°-∠ADC=15°. ∴∠EBD=90°-∠ADB=90°-15°=75°. 在Rt△BDE中,BD=
25.525.5
≈≈≈98(cm).
cos∠EBDcos75°0.26
3
≈25.5(cm). 2
BE即台面上点B处的高度约为98 cm.
第6题答图
(2)连接BC,BO,
∵BD⊥CO,OD=CD,∴BC=BO. 又CO=BO,
∴△BOC是等边三角形,∠BOC=60°.
BDBD 98 19631963
∴sin60°=,BO===,∴支架BC的长度为(cm).
BOsin60°333
2
1963
答:支架BC的长度为 cm.
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江西专用2019中考数学总复习第二部分专题综合强化专题三实物情景应用题类型3针对训练
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