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高中导数知识点归纳
一、基本概念 1. 导数的定义:
设x0是函数y?f(x)定义域的一点,如果自变量x在x0处有增量?x,则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0);比值
?yf(x0??x)?f(x0)称为函数y?f(x)在点x0??x?x到x0??x之间的平均变化率;如果极限limf(x0??x)?f(x0)?y存在,则称函数?lim?x?0?x?x?0?xy?f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做y?f(x)在x0处的导数。
f(x0??x)?f(x0)?xf?x?在点x0处的导数记作y?x?x0?f?(x0)?lim?x?0
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2 导数的几何意义:(求函数在某点处的切线方程)
函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率,也就是说,曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0),切线方程为
y?y0?f'(x)(x?x0).
3.基本常见函数的导数:
①C??0;(C为常数) ②?xn???nxn?1; ③(sinx)??cosx; ④(cosx)???sinx;
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⑤(ex)??ex; ⑥(ax)??axlna;
11⑦?lnx???; ⑧?logax???logae.
xx二、导数的运算 1.导数的四则运算:
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法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
?即: ??f?x??g?x????f??x??g??x?
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法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
??f??x?g?x??f?x?g??x? 函数乘以第二个函数的导数,即:?fx?gx???????24 25
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: (Cf(x))'?Cf'(x).(C为常数) 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分
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?f?x???f??x?g?x??f?x?g??x?子的积,再除以分母的平方:??g?x??0?。 ??2gx??????g?x???2.复合函数的导数
形如y?f[?(x)]的函数称为复合函数。法则: f?[?(x)]?f?(?)*??(x). 三、导数的应用 1.函数的单调性与导数
(1)设函数y?f(x)在某个区间(a,b)可导,
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如果f'(x)?0,则f(x)在此区间上为增函数; 如果f'(x)?0,则f(x)在此区间上为减函数。 (2)如果在某区间内恒有f'(x)?0,则f(x)为常函数。 2.函数的极点与极值:当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;
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②如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值. 3.函数的最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。函数
值点处取得。 f(x)在区间[a,b]上的最值只可能在区间端点及极41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
求函数f(x)在区间[a,b]上最值的一般步骤:①求函数f(x)的导数,令导数
f'(x)?0解出方程的跟②在区间[a,b]列出x,f'(x),f(x)的表格,求出极值及f(a)、f(b)的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小,从而得出函数的最值 4.相关结论总结:
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 四、例题插播
例1:函数f(x)?x3?ax2?3x?9,已知f(x)在x??3时取得极值,则a= ( )
A.2 B.3 C.4
D.5
[解析]:∵f/(x)?3x2?2ax?3,又f(x)在x??3时取得极值∴f/(?3)?30?6a?0则
a=5
例2. 已知函数f(x)?x3?bx2?ax?d的图像过点P(0,2),且在点M(?1,f(?1))处的切线方程为6x?y?7?0.(Ⅰ)求函数y?f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y?f(x)的单调区间.
答案:(Ⅰ)解析式是 f(x)?x3?3x2?3x?2.
56 (Ⅱ)在(1?2,1?2)内是减函数,在(1?2,??)内是增函数.
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最新高中数学导数知识点归纳总结
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