由对数的运算性质可得log2????=6,故????=26,由基本不等式可得??+??≥2√????,从而求得??+??的最小值. 【解答】
解:∵??????2??+??????2??=6,即log2????=6, ∴????=26=64.
由基本不等式可得??+??≥2√????=16,当且仅当??=??=8时,等号成立, 故??+??的最小值是16, 故答案为16.
16.答案:解:(1)因为样本中数学成绩在120分以上的频率为1?(0.010+0.020)×10=0.7,
所以通过样本估计总体(即将频率看作概率),
可估计该校高一年级学生在高中入学考试中,数学成绩在120分以上的学生数为1200×0.7=840. (2)由频率分布直方图可知,样本中成绩在(140,150]内的学生数为0.012×10×50=6. 由题设知这6人恰好是3男3女. 故X的所有可能取值为0、1、2、3, 且??(??=0)=??33=20,??(??=1)=
6
??3
1
1??2??333??6
=
,??(??=2)=20
9
2??1??333??6
=
??(??=3)=3=. ,20??320
6
9
??3
1
所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1991P 20202020 所以X的数学期望????=0×20+1×20+2×20+3×20=2.
1
9
9
1
3
解析:本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望,难度适中. (1)利用样本估计总体;
(2)分别求出X的每个取值所对应的概率,列出分布列,进而可求得数学期望.
17.答案:解:(??)设等差数列{????}的首项为??1,公差为d.
??1+??2+??3=12??1+??=4
依题意有{2,即{2
??4=??2??8?????1??=0??=2
由??≠0,解得{1
??=2.所以????=2??.
(????)所以????=2????=22??=4??.
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因为
????+1????
=
4??+14??
=4,??1=4,
所以数列{????}是以4为首项,4为公比的等比数列. 所以????=
4(1?4??)1?4
=3(4???1).
4
解析:本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法,考查等差数列、等比数列等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.
(??)利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程组,求出首项和公差,由此能求出数列{????}的通项公式.
4为公比的等比数列,(????)由????=2????=22??=4??,得到数列{????}是以4为首项,由此能求出数列{????}的前n项和????.
18.答案:(1)证明:∵????⊥平面ABCD,?????平面ABCD,
∴????⊥????,又????⊥????,
????∩????=??,AD,?????平面ADP,
则????⊥平面ADP,则∠??????是PB与平面PAD所成的角, 故∠??????=45°,∴????=????. 由题意可知AD,AB,AP两两垂直,
以点A为坐标原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图.
设????=????=??,????=??,
则??(0,0,0),??(0,b,0),??(??,b,0),??(0,0,??),??(0,2,2), ??? =(0,??,??). ??? =(??,??,???),??????∴??????22??? =0,∴????⊥????; ??? ???∴??????????(2)解:设????=????=2,则????=4,
故D(4,0,0),??(0,2,0),??(??,2,0),??(0,1,1),??(0,0,2), ??? =(0,1,1). ??? =(??,2,?2),??∴????? ????=(0,2,0),??????????????? ,????? ?=|?????????|=2√17, 由cos??????????????? |?|????????? ||????17
?????? ?????
????
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得42?√??2+8=
2√17
,解得??17
=3(负值舍去),
∴??(3,2,0).
? =(??,y,??), 设平面PDE的一个法向量为??又????? ????=(4,0,?2),????? ????=(1,?2,0), ? ?????? ????=0,得{4???2??=0, ∴{??
???2??=0? ?????? ??????=0? =(2,1,4). 令??=1,得??
??? ?????? ∵??????????=0,∴????⊥????. 又由(1)知????⊥????,
????∩????=??,PB,?????平面PBC,
??? 为平面PBC的一个法向量. ∴????⊥平面PBC,即??????设二面角??????????的平面角为??,由图可知??为钝角,
.
解析:本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查运算求解能力,是中档题. AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴,(1)以A为原点,????=??,建立空间直角坐标系,设????=????=??,利用向量法能证明????⊥????; (2)设????=????=2,由|
?????? ?????????? ????
|?????? |?|????????? ||????
=
2√17,得??(3,2,0),求出平面17
PDE的法向量和平面PBC的法向
量,利用向量法能求出二面角??????????的余弦值.
19.答案:解:(1)由??(1,0),得??=1,
由点P到两个焦点的距离之和为4,得2??=4,即??=2, ∴??2=??2???2=3, ∴椭圆C的标准方程为
1
??24
+
??23
=1;
3
1
1
(2)可得??1=2|????|?|????|sin∠??????=2|????|sin∠??????,??2=2|????|?|????|sin∠??????=2|????|sin∠??????
1
由??=2,得|????|=2|????|,即????=?2????(????>0) 2
??3
设直线PQ为:??=????+1,
??=????+1由{??2??2,得(3??2+4)??2+6?????9=0,
+3=14
∴????+????=?3??2+4①,?????????=?3??2+4②,又????=?2????③
6??
9
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????=2
43??+42
由①和③求得:{12??,代入②求得??=5,
????=?2
3??+4
6??
由????>0可知??>0,∴??=所以直线PQ的方程:??=
2√5, 5
2√5??5
+1,化为一般式为:√5???2???√5=0.
解析:(1)由椭圆方程求出a,b,c,即可得椭圆C的标准方程.
1
(2)由??=2,得|????|=2|????|,即????=?2????(????>0),设直线l的方程为??=????+1,代入椭圆方
2
??3
程,求得P,Q的纵坐标,进而可得m的方程,解方程可得m,进而得到直线l的方程. 本题考查直线的方程的求法,注意运用直线和椭圆方程联立,解方程求交点,考查存在性问题的解法,注意运用韦达定理和直线的斜率公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
20.答案:解:由??′(??)=??+??+??+1,(??>0),
令??′(??)≥0,即??+??+??+1≥0, 即??2+(??+1)??+??=(??+1)(??+??)≥0, 因为??>0,所以??+1>0,得??+??≥0,??≥???, 从而求出??≥0.
??
??
解析:本题考察了函数的单调性,导数的应用,求参数的范围,是一道基础题. 求出??′(??),由题意得到??′(??)≥0对??≥0恒成立,解得a的范围.
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2020年天津市耀华中学高考数学二模试卷 (含答案解析)
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