由对数的运算性质可得log2????=6，故????=26，由基本不等式可得??+??≥2√????，从而求得??+??的最小值． 【解答】
解：∵??????2??+??????2??=6，即log2????=6， ∴????=26=64.
由基本不等式可得??+??≥2√????=16，当且仅当??=??=8时，等号成立， 故??+??的最小值是16， 故答案为16.
16.答案：解：(1)因为样本中数学成绩在120分以上的频率为1?(0.010+0.020)×10=0.7，
所以通过样本估计总体(即将频率看作概率)，
可估计该校高一年级学生在高中入学考试中，数学成绩在120分以上的学生数为1200×0.7=840． (2)由频率分布直方图可知，样本中成绩在(140,150]内的学生数为0.012×10×50=6． 由题设知这6人恰好是3男3女. 故X的所有可能取值为0、1、2、3， 且??(??=0)=??33=20，??(??=1)=
6
??3
1
1??2??333??6
=
，??(??=2)=20
9
2??1??333??6
=
??(??=3)=3=. ，20??320
6
9
??3
1
所以X的分布列为 X 0 1 2 3 1991P 20202020 所以X的数学期望????=0×20+1×20+2×20+3×20=2．
1
9
9
1
3
解析：本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望，难度适中． (1)利用样本估计总体;
(2)分别求出X的每个取值所对应的概率，列出分布列，进而可求得数学期望．
17.答案：解：(??)设等差数列{????}的首项为??1，公差为d．
??1+??2+??3=12??1+??=4
依题意有{2，即{2
??4=??2??8?????1??=0??=2
由??≠0，解得{1
??=2.所以????=2??．
(????)所以????=2????=22??=4??．
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因为
????+1????
=
4??+14??
=4,??1=4，
所以数列{????}是以4为首项，4为公比的等比数列． 所以????=
4(1?4??)1?4
=3(4???1)．
4
解析：本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
(??)利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{????}的通项公式．
4为公比的等比数列，(????)由????=2????=22??=4??，得到数列{????}是以4为首项，由此能求出数列{????}的前n项和????．
18.答案：(1)证明：∵????⊥平面ABCD，?????平面ABCD，
∴????⊥????，又????⊥????，
????∩????=??，AD，?????平面ADP，
则????⊥平面ADP，则∠??????是PB与平面PAD所成的角， 故∠??????=45°，∴????=????． 由题意可知AD，AB，AP两两垂直，
以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．
设????=????=??，????=??，
则??(0,0，0)，??(0,b，0)，??(??,b，0)，??(0,0，??)，??(0,2,2)， ??? =(0,??,??)． ??? =(??,??,???)，??????∴??????22??? =0，∴????⊥????； ??? ???∴??????????(2)解：设????=????=2，则????=4，
故D(4,0，0)，??(0,2，0)，??(??,2，0)，??(0,1，1)，??(0,0，2)， ??? =(0,1,1)． ??? =(??,2,?2)，??∴????? ????=(0,2,0)，??????????????? ,????? ?=|?????????|=2√17， 由cos??????????????? |?|????????? ||????17
?????? ?????
????
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得42?√??2+8=
2√17
，解得??17
=3(负值舍去)，
∴??(3,2，0)．
? =(??,y，??)， 设平面PDE的一个法向量为??又????? ????=(4,0,?2)，????? ????=(1,?2,0)， ? ?????? ????=0，得{4???2??=0, ∴{??
???2??=0? ?????? ??????=0? =(2,1,4)． 令??=1，得??
??? ?????? ∵??????????=0，∴????⊥????． 又由(1)知????⊥????，
????∩????=??，PB，?????平面PBC，
??? 为平面PBC的一个法向量． ∴????⊥平面PBC，即??????设二面角??????????的平面角为??，由图可知??为钝角，
．
解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题． AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，(1)以A为原点，????=??，建立空间直角坐标系，设????=????=??，利用向量法能证明????⊥????； (2)设????=????=2，由|
?????? ?????????? ????
|?????? |?|????????? ||????
=
2√17，得??(3,2，0)，求出平面17
PDE的法向量和平面PBC的法向
量，利用向量法能求出二面角??????????的余弦值．
19.答案：解：(1)由??(1,0)，得??=1，
由点P到两个焦点的距离之和为4，得2??=4，即??=2， ∴??2=??2???2=3， ∴椭圆C的标准方程为
1
??24
+
??23
=1；
3
1
1
(2)可得??1=2|????|?|????|sin∠??????=2|????|sin∠??????，??2=2|????|?|????|sin∠??????=2|????|sin∠??????
1
由??=2，得|????|=2|????|，即????=?2????(????>0) 2
??3
设直线PQ为：??=????+1，
??=????+1由{??2??2，得(3??2+4)??2+6?????9=0，
+3=14
∴????+????=?3??2+4①，?????????=?3??2+4②，又????=?2????③
6??
9
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????=2
43??+42
由①和③求得：{12??，代入②求得??=5，
????=?2
3??+4
6??
由????>0可知??>0，∴??=所以直线PQ的方程：??=
2√5， 5
2√5??5
+1，化为一般式为：√5???2???√5=0．
解析：(1)由椭圆方程求出a，b，c，即可得椭圆C的标准方程．
1
(2)由??=2，得|????|=2|????|，即????=?2????(????>0)，设直线l的方程为??=????+1，代入椭圆方
2
??3
程，求得P，Q的纵坐标，进而可得m的方程，解方程可得m，进而得到直线l的方程． 本题考查直线的方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，解方程求交点，考查存在性问题的解法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20.答案：解：由??′(??)=??+??+??+1，(??>0)，
令??′(??)≥0，即??+??+??+1≥0， 即??2+(??+1)??+??=(??+1)(??+??)≥0， 因为??>0，所以??+1>0，得??+??≥0，??≥???， 从而求出??≥0.
??
??
解析：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题． 求出??′(??)，由题意得到??′(??)≥0对??≥0恒成立，解得a的范围．
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2020年天津市耀华中学高考数学二模试卷 (含答案解析)
