第二十二讲 不定方程
趣题引路】
有三对夫妻一同上商店买东西．男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、姓赵、姓尹．他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价（元数）．现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元，并且孙先生所买的商品比赵女士多23件，金先生所买的商品比李女士多11件，问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁?
解析 设丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，则得不定方程x2?y2?63． 即（x＋y）（x－ y）＝63＝63×1＝21×3＝9×7． ?x?y1?63,?x2?y2?21,?x3?y3?9,可得方程组?1 ??x?y?1;x?y?3;x?y?7;?11?223?3?x?32,解得?1?y1?31;?x2?12,?x3?8, ??y?9;y?1.?2?3根据条件“孙先生所买的商品比赵女士多23件”，可确定x1为孙先生买的商品数，y2为赵女士买的商品件数；再根据条件“金先生所买的商品比李女士多11件”，可确定x2为金先生所买的商品件数，y3为李女士买的商品件数．
由此可判断出孙先生和尹女士为夫妻，金先生和赵女士是夫妻，陈先生和李女士是夫妻．
知识延伸】
不定方程是整数论中最古老的一个分支，古希腊数学家刀番图就研究过这样的方程．
不定方程（组）指未知数的个数多于方程的个数的方程（组）．这类方程解法灵活，内涵丰富，综合性强．解决这类问题，需要根据方程的具体特点进行分析，还要运用特殊的方法和技巧．
例1 已知a是质数，b是奇数，且a2＋b＝2003，求a＋b的值．
解析 ∵a2＋b＝2003，∴ a2＝2003－b，又∵b是奇数，则2003－b是偶数，∴a2是偶数．故a是偶数，而a又是质数，∴a＝2．∴b＝1999．
∴a＋b＝2＋1999＝2001．
点评：此题应用了奇偶数分析法解决问题．
??a?b?8,2例2已知a，b，c满足方程组? 试求方程bx?cx?a?0的根． 2ab?c?82c?48.??解析∵a?b?8，ab?c2?82c?48，∴ ab?c2?82c?48．
()
故a，b是方程y2?8y?c2?82c?48?0的两根． 即?y?4??c?422??2?0．∴y?4，c?42，即a?b?4，c?42．
方程即为4x2?42x?4?0，即x2?2x?1?0． ∴x1,2??2?6． 2在初中阶段涉及的不定方程问题，通常有两种基本的解题思路：（1）运用整数的若干基本性质；（2）运用初中的基本知识与基本方法，如因式分解，配方，根的判别式及根与系数之间的关系，不等关系等。一般具体操作时，常综合运用两个基本方法解决有关不定方程的问题．
点评：此题采用构造一元二次方程的方法求得解．
好题妙解】
佳题新题品味
例1 已知x?x2?2002解析∵x?x2?2002∴x?x2?2002????y?y2?2002?2002．求x2?3xy?4y2?6x?6y?58的值．
????y?2002y2?2002?2002，
??y?2002?y2 ①
?y?y2?2002??y?y2?2002?2002x?x2?2002??x?x2?2002 ②
??①＋②， 得x＋y＝－(x＋y)．
∴x＋y＝0．
∴ x2?3xy?4y2?6x?6y?58 ??x?4y??x?y??6?x?y??58?58
点评：把x＋y看成一个整体代入原式求解，是整体求解的运用．
例2 已知a、b、c、d均为正整数，且a5?b4，c3?d2，a?c?65．求b－d的值． 解析 设a5?b4?m20，c3?d2?n6（m，n为正整数），则a?m4，b?m5，c?n2，d?n3． ∵a－c＝65，∴m4?n2?65． 即?m2?n??m2?n??65?1?13?5，
∴m2?n?65，m2?n?1，或m2?n?13,m2?n?5．
()
?m2?33,解之，得?（无整数解，舍去）．
n?32;??m2?9,?m?3,，又∵ m,n是正整数，∴ ??n?4.n?4.??∴b－d＝m5?n3＝243－64＝179．
点评：此题用增元法设a5?b4?m20，后可运用因式分解法求解．
中考真题欣赏
例（温州市中考题）一项工程交给甲、乙两队施工．如果甲队独做，需12天完成；如果乙队独做，需16天完成；如果由甲、乙两队共同完成这项工程，用x、y分别表示甲、乙两队工作的天数．
（1）用x的代数式表示y；
（2）若要求这项工程在10天内完成，两队工作天数都是整数，则完成这项工程最少要多少天? 解析（1）y?16?4x； 3（2）∵当x＝3时y＝12，∴ y＝12>10不符合题意． 当x＝6时y＝8<10，符合要求，所以至少要8天．
点评：要使y是正整数，则4x能被3整除，用枚举法使问题获解．
竞赛样题展示
例1（2003年全国初中数学联赛）满足等式xy?yx?2003x?2003y?2003xy?2003的正整数对的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4 解析 将题中等式移项分解因式得，
?x?y?2003??xy?2003?0．
?又∵x，y是正整数，
∴x?y?2003?0． ∴xy?2003?0． 故xy＝2003． ∴x＝1，y＝2003或x＝2003，y＝1． 故选B．
点评：因式分解法是解不定方程的一个基本方法，需掌握．
例2（2003年希望杯竞赛题）若x，y为正整数，且x2＋y2＋4y－96＝0，则xy＝________． 解析 ∵x2＋y2＋4y－96＝0，
配方，得x2??y?2?＝102． 又∵x，y是正整数，∴x，y＋2也是正整数，由勾股弦的性质知，斜边
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2
为10的正整数解只能是6，8和8，6两组解．
∴x＝6，y＋2＝8，或x＝8，y＋2＝6． 即x＝6，y＝6，或x＝8，y＝4． 故xy＝36或xy＝32．
点评：配方法也是不定方程的一种解法．
过关检测】
A级
1．已知实数x，y，z适合x＋y＝6，z2＝xy－9，则z等于（ ）． A． ?1 B．0 C．1 D．－1
?ab?bc?44,2．方程组?的正整数解（a，b，c）的组数是（ ）．
ac?bc?23.?A．4 B．3 C．2 D．1 3．方程xy＝x＋y的整数解有________组
4．设x，y都是正整数，且使x?116?x?100?y，则y的最大值为________． 5.求满足
6.如果y?111??的所有正整数x，y. xy62x?3?3?2x?2，求2x+y的值.
B级
1.方程x?y?2001的整数解有（ ）. A.不存在 C.有2组
B.仅有1组 D.至少有4组
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2.设a、b、c为有理数，且等式a?b2?c3?5?26，则2a+999b+1001c的值是_______.
3.满足方程11x2+2xy+92+8x-12y+6=0的实数对（x，y）的个数等于_______.
4.实数x，y满足x?y?1和2x2-xy-5x+y+4=0，则x+y=_______.
5.a、b、c都是正整数，且满足ab+bc=3984，ac+bc=1993，则abc的最大值是_______.
6.象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜一盘得1分，平一盘各得0.5分，输一盘得0分，已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，求参加此次比赛共有多少人？
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九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十二讲 不定方程(含答案)
