式加减的法则。
22
解题思路：先运算（a+3)(a－1)=a－a+3a－3,a(a－2)=a－2a，再合并同类项。
222
解答过程：（a+3)(a－1)+a(a－2)=a－a+3a－3+a－2a=2a－3.
规律总结：整式运算的顺序是：先做整式的乘除，再做整式的加减。整式加减的实质就是合并同类项。 关键词：单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 整式的加减
2
16. （2012安徽，16,8分）解方程：x－2x=2x+1
考点解剖：本题考查了一元二次方程的解法中的公式法，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键。 解题思路：先把方程化为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解。
2
解答过程：x－4x－1=0,a=1,b=－4,c=－1, ∵b－4ac=(－4)－4×1×(－1)=20,∴x=
2
2
?(?4)?20?2?5,∴x1=2+5,x2=2－5.
2?12
2
规律总结：用公式法解一元二次方程应先把方程化为一般形式，并判断b－4ac的大小，当b－4ac≥0
2
时，可代入求根公式求解；若b－4ac＜0，由于负数没有平方根，可判断方程无解，不用求解。 关键词：求根公式法 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. （2012安徽，17,8分）在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，
（1）当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：
m n 1 1 2 2 3 2 3 3 5 4 m?n 3 4 5 7 7 f 2 3 4
猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是______________________________（不需要证明）。
（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立，
考点解剖：这是一道规律探索题，主要考查了学生实验观察、分析、归纳、猜想、画图论证等能力。 解题思路：（1）先通过观察图形，当m、n互质时，填写表格并找到其规律，归纳出f与m、n的关系式；（2）采用类比、画图等方法验证当m、n不互质时，（1）小题的猜想不能成立了。 解答过程：（1）表格中依次填6,6；由于表格中的每一行都存在这样的关系f=m+n－1,于是我们可以猜测一般情况下，当m、n互质时，f与m、n的关系式是f=m+n－1。
（2）如图，若m、n不互质，当m=2,n=2时，f=2，f=m+n－2；当m=2,n=4时，f=4，f=m+n－2.（1）小题的猜想都不能成立。
规律总结：规律探索题一般从特例出发，经历实验操作、观察分析、归纳猜想得出一般性的结论，并采用合适的方法证明你的结论，本题采用了画图验证法。 2×2 2×4 关键词：规律探索型问题
18. （2012安徽，18,8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.
（1）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点； （2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的. 考点解剖：本题考查了学生对图形的平移、轴对称和旋转知识的理解以及动手画图操作的能力，第（1）小题属于开放题，结论并不唯一。 解题思路：（1）要画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点，根据全等三角形的判
C
BA1- 6 -
定定理SSS，只需以A1为顶点画一个与△ABC三边都相等的格点三角形，当然画△ABC的平移图形最简单；（2）先画出△ABC关于AC的轴对称图形，并通过观察得出结论。 解答过程：（1）如下图， 0
(2)作出图形，ADC可以看作由AB绕A点逆时针旋转90而得到。 1规律总结：这是一道利用网格的作图题，解题关键是正确理解平移、轴对称和旋转的意义，作出正确的图形，并作出合理的判断。 关键词：全等三角形 图形的平移 图形的旋转 图形的轴对称
B1 C五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. （2012安徽，19,10分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长，
BA1 C考点解剖：本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形。
解题思路：过点C作△ABC的高线，把线段AB分成两个部分，运用解直角三角形的知识来求解。 D AC作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵∠A=30，∴CD=解答过程：点45°0
30°1AC=3，由勾股定理得2?19(题图3)2 18?题9?3，在Rt△ACD中，∵tan45°=AD=(23)2第第图 ABCD，∴BD=CD=3,∴AB=AD+BD=3?3. BD规律总结：在一般三角形中已知一些边和角求另外的边长的问题，通常都是通过添作高线，构造直角三角形，运用解直角三角形的知识来解决问题。 关键词：解直角三角形 在其它三角形中的应用
20. （2012安徽，20,10分）九（1）班同学为了解2011年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理， 频数(户)月均用水量频数频16(户) 率 x(t) 6 0.10?x?5 122 8 0.25?x?10 44 16 0.310?x?15 O510152025302 月用水量(t)第20题图
10 0.215?x?20 0 4 20?x?25 2 0.025?x?30 4 请解答以下问题： （1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）若该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？ 考点解剖：本题考查了频数、频率的概念，频数分布表和频数直方图以及用样本估计总体等知识。 解题思路：（1）先根据频率=
频数求出被调查家庭的数量，再填写频数分布表和频数直方图；（2）先确总数定该小区用水量不超过15t的家庭数量，再根据频率公式求占被调查家庭总数的百分比；（3）先计算样本中月均用水量超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比，再根据用样本估计总体的思想求解。 解答过程：（1）由频数分布表知频数为10时，频率为0.20，所以被调查家庭的数量为
10=50（户），0.20- 7 -
表中依次填12,0.08；补全的频数分布直方图如下 频数(户)（2）由频数分布表可知用水量不超过15t的家庭有34户，占被调查家庭总数的百分比为
3412?100%?68%； 50（3）因为样本中月均用水量超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比为48166?100%?12%，所以501000×12%=120（户）。 O51015202530规律总结：统计是生活中经常应用的数学知识，它与实际生活联系密切，因此也成为中考的热点，但这月用水量(t)第20题图 类问题并不难．只要把握好概念间的相互联系以及概念的灵活应用，这样的问题会迎刃而解。本题把频
数分布表与频数分布直方图结合起来考查学生的识图能力，以及对图中数据的处理能力。 关键词：频数与频率 频数分布表 频数分布直方图 用样本估计总体 六、（本题满分12分）
21. （2012安徽，21,12分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销。
（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？
（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=
优惠金额），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；
购买商品的总金额（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由。
考点解剖：本题考查了一次函数、反比例函数的知识，以及利用一次函数解决实际问题。 解题思路：（1）这是分段函数，读懂题意可求应付的钱数；（2）根据优惠率的计算公式，写出p与x之间的函数关系式，并根据反比例函数的性质作答；（3）先建立应付钱数与购买商品总金额之间的函数关系式，再分类讨论。
解答过程：（1）510－200=310（元）；（2）p=
200(400≤x＜600),p随x的增大而减小；（3）当200≤xx＜400时在甲商场购买商品应付款y1=x－100,在乙商场购买商品应付款y2=0.6x。
分三种情况：①当x－100＞0.6x时，即250＜x＜400，在乙商场购买商品花钱较少；②x－100＝0.6x时，即x＝250，在两家商场购买商品花钱一样；③当x－100＜0.6x时，即200≤x＜250，在甲商场购买商品花钱较少。
规律总结：阅读理解题的解题关键是读懂题意。第（3）小题是利用函数的方案设计问题，一般先根据数量之间的关系建立函数，再分类讨论来确定设计方案。 关键词：一次函数 反比例函数 方案设计问题 七、（本题满分12分）
22. （2012安徽，22,12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长； （2）求证：DG平分∠EDF; A
G （3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.
A F E G 考点解剖：本题是一道综合性考题，主要考查了几何图形的周长、三角形的中位线、等腰三角形、相似三角形以及直角三角形等知识。 F E 解题思路：（1）由线段的中点得到线段之间的一半关系，再根据周长相等建立等式来求解；（2）先证明B C D FD=FG得到∠FDG=∠FGD，再根据三角形中位线性质得到平行线进而得到∠FGD=∠GDE，进而证出角平分线；（3）由相似三角形得到角相等，通过等角的转换，得到∠B=∠FGD，根据“等角对等边”得DG=BD=CD，B C D BC为直径的圆上，由直径所对的圆周角是直角得到△BCG是直角三角形。 点B、C、G在以
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111AB，AE=CE=AC，BD=CD=BC，22211∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG=AG+AC+CD+DG，∴BG=b+c；
22111111（2）∵AF=BF，BD=CD，∴DF=AC=b，由（1）得BG=b+c=BF+FG=c+FG，∴FG=b，∴DF=FG，
222222解答过程：（1）∵在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，∴AF=BF=
∴∠FDG=∠FGD，∵AE=CE,BD=CD，∴DE∥AB，∴∠FGD=∠GDE，∴∠FDG=∠GDE，即DG平分∠EDF；
（3）∵△BDG与△DFG相似，∴∠B=∠FDG,∵∠FDG=∠FGD，∴∠B=∠FGD，∴BD=DG=CD,∴点B、C、G在以BC为直径的圆上，∴BG⊥CG. 规律总结：（1）根据图形的周长计算方法建立线段之间的等式，从而用图形的边长表示所要求的线段的长；（2）证明角平分线通常是证明角的相等，而证明角相等可以证三角形全等，也可以运用“等边对等
°
角”和平行线的性质来完成；（3）证明垂直的方法很多，可以证明有一个交角是90，也可以证明这个角所在的三角形是直角三角形。
关键词：三角形的中位线 相似三角形的性质 等腰三角形的性质和判定 圆周角定理 八、（本题满分14分）
23. （2012安徽，23,14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发
2
出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x－6)+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。 （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
y考点解剖：这是一道二次函数的综合性压轴题，主要考查了用待定系数法确定二次函数的解析式、函数值的求法、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图像及应用。 解题思路：（1）根据h=2.6和函数图像经过点（0,2），可用待定系数法确定二次函数的解析式；（2）要判断求是否过球网，就是求x=9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43，则球能过网，反之则
A不能；要判断球是否出界，就是球抛物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球不出界，2球网反之就会出界；要判断球是否出界，也可以求出x=18时对应的函数值，并与0相比较。（3）先根据函
边界数图像过点（0,2），建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含有字母系数h的形式，要求球一
Ox69h的取值范围，结合函数的图像，就是要同时考虑当18定能越过球网，又不出边界时x=9时对应的函数y的值大于2.43，且当x=18时对应的函数第23题图 y的值小于或等于0，进而确定h的取值范围。 2
2
解答过程：(1)当h=2.6时，y=a(x－6)+2.6，∵点（0,2）在该抛物线上，∴2=a（0－6）+2.6，解得
a=－
112
，所以y与x的关系式是y=－(x－6)+2.6； 6060（2）球能越过球网，求会出界。 理由：当x=9时，y=－当y=0时，－
12
×（9－6）+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网； 6012
(x－6)+2.6=0，解得：x1=6+239＞18，x2=6－239（舍去），故球会出界。 6012
或当x=18时，y=－×（18－6）+2.6=0.2＞0，所以球会出界。
602?h2?h222
（3）∵点（0,2）在y=a(x－6)+h的图像上，∴2=a(0－6)+h，a=，函数可写成y=(x－6)+h。
36362?h?h＞2.43，① 由球能越过球网，得x=9时，y=4由球不出边界，得x=18时，y=8－3h≤0，② 解得h≥
88，所以h的取值范围是h≥。 33- 9 -
规律总结：第（1）小题是基础题，易于求解；第（2）小题是结论探究题，解答此类问题可求当x=9时对应的函数值，并与网高2.43比较，判断球能否过球网，求x=18时对应的函数值，并与0比较，判断求能否会出界，或求y=0时对应的x的值，并与18相比较；第（3）小题是条件探究题，我们可以从结论球一定能越过球网，又不出边界，结合函数的图像，正确理解球过球网和球不出边界的意义，建立不等式组，从而确定h的取值范围。
关键词：二次函数的图像 二次函数的性质 二次函数的应用
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2012年安徽中考数学试卷（解析版）
