2021年上海外国语大学国际金融贸易学院396经济类联考综合能力考研核心题库之工程数学—线性代数解答题精编
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1． 已知向量组?1?(1,2,2),?2?(2,4,4),?3?(1,0,3),?4?(0,4,?2)
求：（1）向量组的秩；
（2）向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 【答案】（1）将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换：
?1210??1210??1202??2404???00?24???001?2?.青岛掌ф心博?阅电子书 ???????243?2??001?2??0000???????所以，向量组的秩r(?1,?2,?3,?4)?2； （2）向量组的一个极大无关组为：?1,?3， 且有?2?2?1,?4?2?1?2?3.
2． 已知A是n阶方阵，且(A?2E)2?O，证明矩阵A可逆，并求A?1.
【答案】由(A?E)?O，得：A2+2A=-E，从而 A(A+2E)=-E,A(-A-2E)=E
所以A可逆，且A?1??A?2E.
?1?3． 解矩阵方程：?2??1??11?【答案】令A=?21??11??1?因为(AE)=?2??1???100???010???001?1?1??2?11?X??3?.
?????6?11????1??2?1?,B=?3?.
?????6?1???00?210?
??101??11??33??11?. ?361??02?11?1100??11?111010???03?1???11001???00211??0?0??33??111?1?1，所以A???2236??111?????022??2第 3 页，共 40 页
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??0?1由AX=B，得：X=A-1B=??2?1???2
4． 对任意的矩阵A,证明： （1）A??131301?3??2??1??1?????3?3.
???6????6??2?????1?2?AT为对称矩阵,A?AT为反对称矩阵；
（2）A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 【答案】（1）因为(A?AT)T?AT?(AT)T?A?AT,因此A?AT为对称矩阵。
TTTTTTT同理,因为(A?A)?A?(A)?A?A??(A?A),因此A?AT为反对称矩阵。
11TT（2）因为A?(A?A)?(A?A),
2211TT而由（1）知(A?A)为对称矩阵,(A?A)为反对称矩阵,因此任何矩阵A都可以表示为一个对称
22矩阵和一个反对称矩阵之和。
?101???5． 设实对称矩阵A=011，求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ.其中，Λ是对角矩阵. ???112?????10?10??1?1??(??1)(??3). ?1?1??2所以，A的特征值为：??0,??1,??3. 对于??0，求线性方程组(-A)x=o的基础解系： ??10?1??101???1??0?1?1???011??x1??x3??，?，基础解系：?1，
????????1?1?2??000??x2??x3?1???????所以，属于??0的特征向量(-1,-1,1)T,将其标准化得：
111T(?,?,).
333对于??1，求线性方程组(E-A)x=o的基础解系： ?00?1??110???1??00?1???001??x1??x2??，?，基础解系：1，
????????1?1?1??000??x3?0?0???????11,,0)T. 所以，属于??1的特征向量(-1,1,0)T,将其标准化得：(?22【答案】|?E?A|?第 4 页，共 40 页
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?3，求线性方程组(3E-A)x=o的基础解系：
?20?1??1?10??1????02?1???0?21??x1?x2，?，基础解系：1，
???????2???1?11??000??x3?2x2??????所以，属于??3特征值的特征向量(1,1,2)T.将其标准化得： 112T(,,). 66611??1???326????000?11??1??令Q=?，Λ=010，则Q是正交矩阵，且Q-1AQ=Λ.
?3??26????003???12??0??36??
?3?16． 设三阶矩阵A=???1?0120?0?，E为三阶单位矩阵. ?3???1求：（1）矩阵A-2E及|A-2E|；（2）(A?2E).
?300??200??100??10???020???1?10?青岛掌я心博阅电子书 【答案】（1）A-2E=1????????123??002???121???????|A-2E|=-1；
?100100??100100??1?10010???0?10?110?
（2）
??????121001??021101??????100100???0101?10?
???001?121????100??(A?2E)?1??1?10?.
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