一、选择题
1(甲) .C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
b?a?0?c，且b?c，
所以
a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a．
1（乙）．B 解：1?12?13?a?1?2?111?2?1?11?1??1?2?1?2．
2?2?12?12（甲）．D
解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一
个交点的坐标为（3，2）.
2（乙）．B
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2. 因为x，y均为整数，所以有
2222??(x?1)?0，??(x?1)?0，??(x?1)?1，??(x?1)?1， ? ? ? ?2222??(y?1)?0；??(y?1)?1；??(y?1)?0；??(y?1)?1.解得
?x?1，?x?1，?x?1，?x?0，?x?0，?x?0，?x?2，?x?2，?x?2， ? ? ? ? ? ? ? ? ?y?2；y?2；y?1；y?0；y?1；y?0；y?1；y?0；y?2.?????????以上共计9对. （x，y）3（甲）．D
解：由题设知，1?a?1?a?b?1?2a?b，所以这四个数据的平均数为
1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b， ?44(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 ， ?244?4a?2b3?4a?2b1于是 ??.
4443（乙）．B
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE，
∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，
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所以△BCD≌△ACE， BD = AE.
又因为?ADC?30?，所以?ADE?90?. 在Rt△ADE中，AE?5，AD?3， 于是DE=4（甲）．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得
AE2?AD2?4，所以CD = DE = 4.
?x?2?n(y?2)， ??y?n?2(x?n)，消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =
(2y?7)?1515?1?.
2y?72y?7因为
15为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从
2y?7而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
4（乙）．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为?q?0，故方程的根为一正一负．由二次
22函数y?x?px?q的图象知，当x?3时，y?0，所以3?3p?q?0，即 3p?q?9. 由于p，q2都是正整数，所以p?1，1≤q≤5；或 p?2，1≤q≤2，此时都有??p?4q?0. 于是共有7组（p，q）符合题意．
5（甲）．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以
p0?98910，p1?，p2?，p3?，因此p3最大． 363636365（乙）．C
解：因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1)，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则
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111x?1?(1?1)(?1)(?1)???(?1)，
23100解得 x?1?101，x?100．
二、填空题
6（甲）．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，3x?2≤487 9x?8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．
6（乙）.7
11110???两边乘以a?b?c?9得 a?bb?cc?a9cabcab3????10即???7
a?bb?cc?aa?bb?cc?a解：在
7（甲）．8
解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以
ADANDN2???， BFNFBN12由此得AN?2NF，所以AN?AF.
3
在Rt△ABF中，因为AB?2a，BF?a，所以
AF?AB2?BF2?5a，
于是 cos?BAF?AB25?. AF5由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ?AED??AFB，
?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?. 于是 AM?AE?cos?BAF?25a， 5245MN?AN?AM?AF?AM?a，
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S?MNDMN4??. S?AFDAF15又S?AFD?148?(2a)?(2a)?2a2，所以S?MND?S?AFD?a2. 21515因为a?15，所以S?MND?8.
28 5解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM?DE．
7（乙）.
因为OB?202?122?16，所以
OM?OB?OC16?1248??， BC2053664CM?OC2?OM2?，BM?．
55643628??． 555CE?BD?（EM?CM）?（DM?BM）?BM?CM?8（甲）．?2 339?=k2－4(k2?3k?)≥0，
42解：根据题意，关于x的方程有
由此得 (k－3)2≤0．
又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+
93=0，解得x1=x2=?.
24故
x1x220112012=
21=?．
3x28（乙）.1610
解：n2?n?3n2?n?3?n2?34??????2?n2?n4?5n2?9
因此5|(n?9)，所以n?1(mod5)，因此n?5k?1,或5k?2
42012?5?402??2
所以共有2012-402=1610个数
9（甲）．8
解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知2a?3b?130，由此得0≤b≤43.
(m?1)(m?2)，所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是
2 0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43，
又 a?b?第- 9 -页 共15页
87≤(m?1)(m?2)≤130，
由此得 m?8，或m?9.
当m?8时，b?40，a?5；当m?9时，b?20，a?35，a?故m?8． 9（乙）.
a?b55?，不合题设. 223?5a??1 2c?a?b?c(1)?解：依题意得：?111，所以b?c?a，代入（2）得
??(2)??bca11111????，两边乘以a得 abcc?ac1?aac?aa??即化简得a2?3ac?c2?0，两边除以c2得 c?ac，cc?a，
23?5a3?5a?a? 所以 ???3()?1?0??2c2c?c?另一方面：a≤b≤c，所以
a3?5a?1 综合得??1 c2c另解：可令
a?k，由（1）得b?(1?k)c，代入（2）化简得k2?3k?1?0，解得 c3?53?53?5另一方面：a≤b≤c，所以k?1， 综合得?k??k?1．
22，210（甲）．
32 2解：如图，连接AC，BD，OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此
BCBA?. CFAD因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，
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全国初中数学竞赛试题及答案
