2019年考研数学基础知识复习
讲义（完整版） 高等数学
目录
第一章 函数、极限、连续（全体） 第二章 一元函数微分学（全体）
第三章 一元函数积分学（全体）
常微分方程（全体）
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）
第六章 多元函数微分学（全体） 第七章 多元函数积分学
§7．1 二重积分（全体）
§7．2 三重积分
§7．3 曲线积分
§7．4 曲面积分（数学一）
第八章 无穷级数 （数学一和数学三）
第一章 函数、极限、连续
§1．1 函数
甲 内容要点
一．函数的概念
1．函数的定义
设D是一个非空的实数集，如果有一个对应规则
f，对每一个x?D，都能对应唯一的一个实数y，则
这个对应规则f称为定义在D上的一个函数，记以
y?f?x?，称x为函数的自变量，y为函数的因变量或函数值，D称为函数的定义域，并把实数集 Z??yy?f?x?,x?D? 称为函数的值域
2．分段函数
如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。
x??1?x?1? 例如 y?f?x???x2?1?x?1
?5xx?1? 如果y?f?x?可以解出x???y?是一个函数（单值）则称它为f?x?的反函数，记以x?f?1?y?。有时也用
y?f?1?x?表示，例如y?x2,?x?0?解出x?y，
?y?0?而y?x2?x?0?解出x??y?y?0?
二．基本初等函数
是一个分段函数，它有两个分段点，
x??1和x?1， 它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y?f?x? 在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别 先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需 要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在 定义域内皆连续这个定理。
又f?x??x???x,x?0??x,x?0，
?1,x? f?x??sgnx??0?0,x?0，都是分段函数
? ??1,x?0
3．隐函数
形如y?f?x?的函数称为显函数，由方程
F?x,y??0确定y?y?x?称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，例如x2?y2?1，y??1?x2，（不一定一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。
4．反函数
1．常值函数y?c（常数） 2．幂函数y?x?（?常数）
3．指数函数y?ax (a?0,a?1常数) y?ex（e?2.7182?，无理数）
4．对数函数y?logax（a?0,a?1常数） 常用对数y?log10x?lgx 自然对数y?logex?lnx
5．三角函数y?sinx；y?cosx；y?tanx； y?cotx；y?secx；y?cscx。6．反三角函数y?arcsinx；y?arccosx；
y?arctanx；y?arccotx。
关于基本初等函数的概念，性质及其图象非常重要，影响深远。例如以后经常会用xlim???arctanx；
11xxxlim???arctanx；xlim?0?e；xlim?0?e；xlim?0?lnx等等。就需要关于y?arctanx，y?ex，y?lnx的图象很清晰。
三．复合函数与初等函数
1．复合函数
设y?f?u? 定义域U
u?g?x? 定义域X，值域U*
如果U*?U，则y?f?g?x??是定义在X上的一个复合函数。其中u称为中间变量。
2．初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。
四．考研数学中常出现的非初等函数
1．用极限表示的函数
（1）y?limn??fn?x?
（2）y?limt?xf?t,x?
2．用变上、下限积分表示的函数
（1）y??xf?t?dt，其中f?tdy0?连续，则
dx?f?x? （2）y???2?x??1?x?f?t?dt，
其中?1?x?，?2?x?可导，f?t?连续， 则dydx?f??2?x????2?x??f??1?x???1??x?
五．函数的几种性质
1．有界性：
设函数y?f?x?在X内有定义，若存在正数M，使x?X都有f?x??M则称f?x?在X上是有界的。
2．奇偶性：
设区间X关于原点对称，若对x?X，都有
f??x???f?x?，则称f?x?在X上是奇函数；若对
x?X，都有f??x??f?x?，则称f?x?在X上是偶函
数、奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称。
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