第二章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型
一、内容提要
本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。
本章还有三方面的内容不容忽视。其一，若干基本假设。样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。
二、典型例题分析
例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为
kids??0??1educ??
1
（1）随机扰动项?包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？
（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。 解答：
（1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。有些因素可能与教育水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。
（2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设4不满足。
例2．已知回归模型E????N??，式中E为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N为所受教育水平（年）。随机扰动项?的分布未知，其他所有假设都满足。
（1）从直观及经济角度解释?和?。
?满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。 ?和?（2）OLS估计量?（3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。 解答：
（1）???N为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。当N为零时，平均薪金为?，因此?表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。?是每单位N变化所引起的E的变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加值。
?满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的的成立无需?和仍?（2）OLS估计量?随机扰动项?的正态分布假设。
（3）如果?t的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。因为t检验与F检验是建立在?的正态分布假设之上的。
例3、在例2中，如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100元，估计的
截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月，估计的截距项与斜率项有无变化？ 解答：
首先考察被解释变量度量单位变化的情形。以E*表示以百元为度量单位的薪金，则
E?E*?100????N??
由此有如下新模型
E*?(?/100)?(?/100)N?(?/100)
2
或 E*??*??*N??*
这里?*??/100，?*??/100。所以新的回归系数将为原始模型回归系数的1/100。 再考虑解释变量度量单位变化的情形。设N*为用月份表示的新员工受教育的时间长度，则N*=12N，于是
E????N??????(N*/12)??
或 E???(?/12)N*??
可见，估计的截距项不变，而斜率项将为原回归系数的1/12。
例4．对于人均存款与人均收入之间的关系式St????Yt??t使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：
??384.105?0.067YStt(151.105)(0.011)
R2 ??199.023 ＝0.538 ?（1）?的经济解释是什么？
（2）?和?的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？
（3）对于拟合优度你有什么看法吗？
（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。你的结论是什么？ 解答：
（1）?为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。
（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此?符号应为负。储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期?的符号为正。实际的回归式中，?的符号为正，与预期的一致。但截距项为负，与预期不符。这可能与由于模型的错误设定形造成的。如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。
（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。模型中53.8%的拟合优度，表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。
（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。双变量
3
情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。由t分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。可见斜率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。
三、教材中部分习题
2.1、为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项？
计量经济模型考察的是具有因果关系的随机变量间的具体联系方式。由于是对基变量，意味着影响被解释变量的因素是复杂的除了解释变量的影响外，还有其他无法在模型中独立列出的各种因素的影响。这样，模型中就必须使用一个随机干扰项变量来代表所有这些在模型中无法独立表示出来的影响因素。（或见第一章习题） 2-2．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？
⑴ yt????xtt?1,2,?,n ⑵ yt????xt??tt?1,2,?,n
?x?????⑶ yt??tt?x??????t??⑷ ytt?x???⑸ yt??t?x????t??⑹ yt?x??????⑺ yt??tt?x???????t??⑻ yttt?1,2,?,n t?1,2,?,n t?1,2,?,n t?1,2,?,n
t?1,2,?,n t?1,2,?,n
其中带“＾”者表示“估计值”。
答：错；正；错；错；错；正，正，错。
2.3、线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计？
答：线性回归模型的基本假设（实际是针对普通最小二乘法的基本假设）有两大类：一类是关于解释变量的，解释变量是确定性变量，而且如果是随机变量则解释变量与随机干扰项之间互不相关；一类是关于随即干扰项的，随机误差项具有0均值和同方差；随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在序列相关；随机误差项与解释变量之间不相关；随机误差项服从0均值、同方差的正态分布。违背基本假设的计量经济学模型还是可以估计的，只是不能使用普通最小二乘法进行估计。
4
2.4、线性回归模型
yt????xt??tt?1,2,?,n
1的0均值假设是否可以表示为
n??t?1nt?0？为什么？
（答：严格来说，随机干扰项的0均值假设是关于X的条件期望为0，线性回归模型：
yt????xt??t1中的0均值假设E(u)?0不可以表示为：
n2??t?1nt?0，因为前者表示取
完所的可能的样本组合后的平均状态，而后者只是一个样本的平均值。）二者是两个完全不同的概念。
2.5、假设已经得到Y??0??1X关系的最小二乘估计，试回答：
假设决定把X变量的计量单位扩大10倍，这样对远回归的斜率和截距有何影响？如果Y变量的单位扩大10倍，又会怎样？
记X?为原变量X计量单位扩大10倍的变量，X??X/10,。于是答：Y??0??1X??0??110X???0?10?1X?.其他问题方法相同。
所以，解释变量的单位扩大10倍，回归的截距不变，斜率项将为原系数的10倍。如果Y变量的计量单位扩大10倍，斜率和截距系数都将为原始模型回归系数的1/10 2.10、下面数据是对X和Y的观察值得到的。
∑Yi=1110； ∑Xi=1680； ∑XiYi=204200∑Xi2=315400； ∑Yi2=133300假定满足所有的古典线性回归模型的假设，要求： （1）b1和b2？
（2）b1和b2的标准差？ （3）r2？
（4）对B1、B2分别建立95%的置信区间？利用置信区间法，你可以接受零假设：B2=0吗？
(解：⑴?X??Xni?168，Y??Yni?111
??(Xi?X)(Yi?Y)??(XiYi?YXi?YiX?XY)?204200?1680?111?168?1110?10?168?111 ?17720 5
又??(Xi?X)2??(Xi2?2XiX?X2)??Xi2?2?10X2?10X2?315400?10?168?168?33160??2(X?X)(Y?Y)17720????0.5344
(X?X)33160?ii2i
?1?Y??2X?111?0.5344?168?21.22
? ⑵?2e??2in?2(Y??i?i)2?Y10?2(Y??2i?i?Y?i2)?2YiY8
??21.22?0.5344X ?Yii??Y?2)??(Y2?2?21.22Y?2?0.5344XY??2??2X2?2??X)??(Yi2?2YiYiiiiii12i12i?133300?2?21.22?1110?2?0.5344?204200?10?21.22?21.22?0.5344?0.5344?315400?2?21.22?0.5344?1680?620.81?2??ei2/n???1620.81?77.60 82i22?X??Var(?)?n?(X?X)i?77.60?315400?73.81，se(?1)?73.81?8.5913
10?33160Var(?2)??2?x2i?77.60?0.0023，se(?2)?0.0023?0.0484
331602i2 ⑶r?1?2?(Y2?ei?Y)，
??ei2?620.81,又??(Yi?Y)?133300?123210?10090
?r2?1?620.81?0.9385
10090 ⑷?p(t?2.306)?95%，自由度为8
21.22??11.4085??1?41.0315为?1的95%的置信区间。?2.306，解得：
8.59130.5344??2?2.306，解得：0.4227??2?0.646为?2的95%的置同理，??2.306?0.0484??2.306?信区间。由于?2?0不在?2的置信区间内，故拒绝零假设：?2?0。
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2-11.表中列出中国1978-2000年的财政收入Y和国内生产总值GDP的统计资料。要求： 1.作出散点图（略）建立Y随X变化的一元线性回归方程，并解释斜率的经济意义； 2.对所建立的回归方程进行检验；
3.若2001年中国GDP为105709亿元，求财政收入的预测值及预测区间。 答：1.
??556.65?0.1198*GDPYt值:(2.52)(22.72),,,,R?0.96092，
斜率的经济意义是：在1978-2000年间中国国内生产总值每增加一亿元，财政收入平均增加0.1198亿元。
2.在5%的显著性水平下，自由度为23-2=21的t分布临界值为2.08。因此从参数的t检验值看，截距项和斜率项都显著不为零。另外拟合优度0.9609表明，财政收入的96%的变化可以由GDP的变化来解释，拟合情况良好。
3.当2001年GDP为105709亿元，预测的财政收入为556.65+0.1198*105709=13220.59（亿元）；预测区间（参考书中公式首先算出随机扰动项的方差）：
财政收入的均值预测区间为[13220.59-2.08*425.75, 13220.59+2.08*425.75] 财政收入的个值预测区间为[13220.59-2.08*846.13, 13220.59+2.08*846.13]
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（财务知识）第二章经典单方程计量经济学模型一元线性回归模型
