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【答案】
1 4【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得
???(x?2y?3z)dxdydz?6???zdxdydz?6?zdz??dxdy，
??0Dz1其中Dz为平面z?z截空间区域?所得的截面，其面积为
1(1?z)2.所以 21111232(x?2y?3z)dxdydz?6zdxdydz?6z?(1?z)dz?3(z?2z?z)dz?. ????????0024??20L02?12L(13) n阶行列式MMO00【答案】2n?102MM?___________. 22?120L0L?2
【解析】按第一行展开得
20L0022?2Dn?1?(?1)n?12(?1)n?1?2Dn?1?2?12LDn?L000L0L22?12
?2(2Dn?2?2)?2?22Dn?2?22?2?2n?2n?1?L?2
?2n?1?2
(14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0;1,1,0)，则P{XY?Y?0}?________. 【答案】
1 2【解析】由题设知，X~N(1,1),Y~N(0,1)，而且X、Y相互独立，从而
P{XY?Y?0}?P{(X?1)Y?0}?P{X?1?0,Y?0}?P{X?1?0,Y?0}
?P{X?1}P{Y?0}?P{X?1}P{Y?0}?11111????. 22222
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明．．．
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过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分) 设函数f?x??x?aln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx，若f3?x?与g?x?在
x?0是等价无穷小，求a,b,k的值.
【答案】a??1,b??,k??.
1213【解析】法一：原式limx?0x?aln?1?x??bxsinx?1（泰勒展开法） 3kx???x2x3x33?x?a?x???o?x???bx?x??o?x3??236?????1
?limx?0kx3?1?a?x???b??limx?0?a?2a3b43?x?x?x?o?x?2?36?1 3kxaa?0,?1 23k11?a??1,b??,k??
23即1?a?0,b? (16)(本题满分10分) 设函数f?x?在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，由线y=f?x?在点
?x,f?x??处的切线与直线x?x及x轴所围成区域的面积恒为4，且f?0??2，求f?x?000的表达式. 【答案】f(x)?8. 4?x【解析】设f?x?在点x0,f?x0?处的切线方程为：y?f?x0??f??x0??x?x0?, 令y?0，得到x????f?x0??x0，
f??x0?故由题意，
f?x0?11，即f?x0???x0?x??4f?x0???4，可以转化为一阶微分方程，
22f??x0?文档
y2????88
即y??， =2，两边同时积分可得x=?+??，将f(0)=2，代入上式可得c=4
????????
8即f?x??8.
?x?4(17)(本题满分10分)
已知函数f?x,y??x?y?xy，曲线C：x2?y2?xy?3，求f?x,y?在曲
线C上的最大方向导数. 【答案】3
【解析】因为f?x,y?沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.
fx'?x,y??1?y,fy'?x,y??1?x，
故gradf?x,y???1?y,1?x?，模为此题目转化为对函数g?x,y??即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为对d(x,y)??1?y???1?x?在约束条件C:x?y?xy?3下的最
22?1?y???1?x?2222，
22?1?y???1?x?2在约束条件C:x?y?xy?3下的最大值.
2大值.
构造函数：F?x,y,????1?y???1?x???x?y?xy?3
2222???Fx??2?1?x????2x?y??0??Fy??2?1?y????2y?x??0，得到M1?1,1?,M2??1,?1?,M3?2,?1?,M4??1,2?. ?22?F???x?y?xy?3?0d?M1??8,d?M2??0,d?M3??9,d?M4??9
所以最大值为9?3. (18)(本题满分 10 分)
vx)]??u?(x)(vx)?u(x)v?(x) （I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)(u2(x)Lun(x)，写出f(x)的求导公（II）设函数u1(x),u2(x),L,un(x)可导，f(x)?u1(x)式.
u(x?h)v(x?h)?u(x)v(x)
h?0hu(x?h)v(x?h)?u(x?h)v(x)?u(x?h)v(x)?u(x)v(x) ?lim
h?0h【解析】（I）[u(x)v(x)]??lim文档
?limu(x?h)h?0v(x?h)?v(x)u(x?h)?u(x)?limv(x) h?0hh ?u(x)v?(x)?u?(x)v(x) （II）由题意得
f?(x)?[u1(x)u2(x)Lun(x)]?
?u1?(x)u2(x)Lun(x)?u1(x)u2?(x)Lun(x)?L?u1(x)u2(x)Lun?(x) (19)(本题满分 10 分)
??z?2?x2?y2, 已知曲线L的方程为?起点为A0,2,0，终点为B0,?2,0，计算
??z?x,????曲线积分I?2222y?zdx?z?x?ydy?(x?y)dz. ?????L【答案】
2π 2?x?cos??ππ【解析】由题意假设参数方程?y?2sin?，?:??
22?z?cos????π2?π2[?(2sin??cos?)sin??2sin?cos??(1?sin2?)sin?]d?
??π?2sin2??sin?cos??(1?sin2?)sin?d?
2π2?22?sin2?d??(20) (本题满11分)
π202π 2 设向量组α1,α2,α3内R的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+?k+1?α3.
33（I）证明向量组?1?2?3为R的一个基;
（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基α1,α2,α3与基?1?2?3下的坐标相同，并求所有的
ξ.
【答案】
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【解析】(I)证明：
??1,?2,?3???2?1+2k?3,2?2,?1+?k?1??3??2????1,?2,?3??0?2k?01??20?0k?1??
2 002102k0k?132?22k1?4?0 k?1故β1,β2,β3为R的一个基. （II）由题意知，
??k1?1?k2?2?k3?3?k1?1?k2?2?k3?3,??0
即
k1??1??1??k2??2??2??k3??3??3??0,ki?0,i?1,2,3
k1?2?1+2k?3??1??k2?2?2??2??k3??1+?k+1??3??3??0k1??1+2k?3??k2??2??k3??1+k?3??0有非零解即?1+2k?3,?2,?1+k?3?0
1即00110?0，得k=0 2k0k
k1?1?k2?2?k3?1?0?k2?0,k1?k3?0??k1?1?k1?3,k1?0
(21) (本题满分11 分)
?02?3??1?20?????设矩阵A???13?3?相似于矩阵B=?0b0?.
?1?2a??031?????(I)
求a,b的值；
?1（II）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵.. 【解析】(I) A~B，可得a+3=b+2
2015年考研数学一真题及答案解析
