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以…）
答：T = 2π
a2k1?b2k2mb2k1k2 。
2、单摆
单摆分析的基本点，在于探讨其回复力随位移的变化规律。相对原始模型的伸展，一是关于摆长的变化，二是关于“视重加速度”的变化，以及在具体情形中的处理。至于复杂的摆动情形研究，往往会超出这种基本的变形，而仅仅是在分析方法上做适当借鉴。
物理情形1：如图13所示，在一辆静止的小车内用长为L的轻绳静止悬挂着一个小钢球，当小车突然获得水平方向的大小为a的加速度后（a＜g），试描述小球相对小车的运动。
模型分析：小钢球相对车向a的反方向摆起，摆至绳与竖直方向夹角θ= arctg时，达到最大速度，此位置即是小球相对车“单摆”的平衡位置。以车为参照，小球受到的场力除了重力G外，还有一惯性力F 。所以，此
时小球在车中相当于处在一个方向倾斜θ、大小变为G2?F2的新“重力”的作用，属超重情况。这是一种“视重加速度”增加的情形。
解说：由于摆长L未变，而g视 = g2?a2，如果a很小，致使最大摆角不超过5°的话，小角度单摆可以视为简谐运动，周期也可以求出来。
答案：小球以绳偏离竖直方向θ= arctg的角度为平衡位置做最大摆角为θ的单摆运动，如果θ≤5°，则小球的摆动周期为T = 2π
Lg?a22agag
物理情形2：某秋千两边绳子不等长，且悬点不等高，相关数据如图14所示，且有a2 + b2 = L21 + L22，
试求它的周期（认为人的体积足够小）。
模型分析：用C球替代人，它实际上是在绕AB轴摆动，类似将单摆放置在光滑斜面上的情形。故视重加速度g视 = gcosθ= g等效摆长l = CD，如图15所示。
由于a2 + b2 = L21 + L22可知，AC⊥CB ，因此不难求出
CD=
L1L2L?L2122aa?b22 ，
，最后应用单摆周期公式即可。
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答案：T = 2π
L1L2ag 。
相关变换1：如图16所示，质量为M的车厢中用长为L的细绳悬挂着一个质量为m的小球，车轮与水平地面间的摩擦不计，试求这个系统做微小振动的周期。
分析：我们知道，证明小角度单摆作简谐运动用到了近似处理。在本题，也必须充分理解“小角度”的含义，大胆地应用近似处理方法。
解法一：以车为参照，小球将相对一个非惯性系作单摆运动，在一般方位角θ的受力如图17所示，其中惯性力F = ma ，且a为车子的加速度。由于球在垂直T方向振动，故回复力
F回 = Gsinθ+ Fcosθ= mgsinθ+ macosθ ① *由于球作“微小”摆动，其圆周运动效应可以忽略，故有
T + Fsinθ≈ mgcosθ ② 再隔离车，有 Tsinθ= Ma ③
解①②③式得 F回 =
m(m?M)gsin?
M?msin2?m(m?M)gsin?M*再由于球作“微小”摆动，sin2θ→0 ，所以 F回 = 令摆球的振动位移为⑤
解④⑤即得 F回 = 显然，
m(m?M)gx ML ④
xLx ，常规处理 sinθ≈
m(m?M)g = kML是恒定的，所以小球作简谐运动。最后求周期用公式
即可。
解法二：由于车和球的系统不受合外力，故系统质心无加速度。小球可以看成是绕此质心作单摆运动，而新摆长L′会小于L 。由于质心是惯性参照系，故小球的受力、回复力的合成就很常规了。
若绳子在车内的悬挂点在正中央，则质心在水平方向上应与小球相距x =
Mm?MLsinθ，不难理解，“新摆长”L′=
Mm?ML 。（从严谨的意义上来讲，这
个“摆长”并不固定：随着车往“平衡位置”靠近，它会加长。所以，这里的等
效摆长得出和解法一的忽略圆周运动效应事实上都是一种相对“模糊”的处理。如果非要做精准的运算，不启用高等数学工具恐怕不行。）
答：T = 2π
ML(M?m)g 。
相关变换2：如图18所示，有一个均质的细圆环，借助一些质量不计的辐条，将一个与环等质量的小球固定于环心处，然后用三根竖直的、长度均为L且不可伸长的轻绳将这个物体悬挂在天花板上，环上三个结点之间的距离相等。试求这个物体在水平方向做微小扭动的
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周期。
分析：此题的分析角度大变。象分析其它物理问题一样，分析振动也有动力学途径和能量两种途径，此处若援用动力学途径寻求回复力系数k有相当的难度，因此启用能量分析。
本题的任务不在简谐运动的证明，而是可以直接应用简谐运动的相关结论。根据前面的介绍，任何简谐运动的总能都可以表达为
E = kA2 ①
而我们对过程进行具体分析时，令最大摆角为θ（为了便于寻求参量，这里把摆角夸大了）、环和球的质量均为m ，发现最大的势能（即总能）可以表达为（参见图19）
E = 2m·gL(1 ? cosθ) ② 且振幅A可以表达为
A = 2Lsin ③ 解①②③式易得：k =
2mgL?212
最后求周期时应注意，中间的球体未参与振动，故不能纳入振子质量（振子质量只有m）。
答：T = π
2Lg 。
三、振动的合成
物理情形：如图20所示，一个手电筒和一个屏幕的质量均为m ，都被弹性系数为k的弹簧悬挂着。平衡时手电筒的光斑恰好照在屏幕的正中央O点。现在令手电筒和屏幕都在竖直方向上振动（无水平晃动或扭动），振动方程分别为y1 = Acos(ωt + φ1)，y2 = Acos(ωt + φ2) 。试问：两者初位相满足什么条件时，可以形成这样的效果：（1）光斑相对屏幕静止不动：（2）光斑相对屏幕作振幅为2A的振动。
模型分析：振动的叠加包括振动的相加和相减。这里考查光斑相对屏幕的运动事实上是寻求手电筒相对屏幕的振动，服从振动的减法。设相对振动为y ，有
y = y1 ? y2 = Acos(ωt + φ1) ? Acos(ωt + φ2)
= ?2Asin
?1??22sin(?t??1??22)
解说：（1）光斑相对屏幕静止不动，即y = 0 ，得 φ1 = φ2 （2）要振幅为2A ，必须sin?1??22 = 1 ，得φ1 ? φ2 = ±π
答案：初位相相同；初位相相反。 相关变换：一质点同时参与两个垂直的简谐运动，其表达式分别为x = 2cos(2
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ωt +2φ) ，y = sinωt 。（1）设φ = ，求质点的轨迹方程，并在xOy平面绘出其曲线；（2）设φ = π ，轨迹曲线又怎样？
解：两个振动方程事实已经构成了质点轨迹的参数方程，我们所要做的，只不过是消掉参数，并寻求在两个具体φ值下的特解。在实际操作时，将这两项工作的次序颠倒会方便一些。
（1）当φ = 时，x = ?2(1 ? 2sin2ωt) ，即 x = 4y2 ? 2
描图时应注意，振动的物理意义体现在：函数的定义域 ?1 ≤ y ≤ 1 (这事实上已经决定了值域 ?2 ≤ x ≤ 2 )
（2）当φ =π时，同理 x = 2(1 ? 2sin2ωt)= 2 ? 4y2
答：轨迹方程分别为x = 4y2 ? 2和x = 2 ? 4y2 ，曲线分别如图21的（a）（b）所示——
?2?2
四、简谐波的基本计算
物理情形：一平面简谐波向?x方向传播，振幅A = 6cm ，圆频率ω= 6πrad/s ，当t = 2.0s时，距原点O为12cm处的P点的振动状态为yP = 3cm ，且vP ＞ 0 ,而距原点22cm处的Q点的振动状态为yQ = 0 ，且vQ ＜ 0 。设波长λ＞10cm ，求振动方程，并画出t = 0时的波形图。
解说：这是一个对波动方程进行了解的基本训练题。简谐波方程的一般形式已经总结得出，在知道A、ω的前提下，加上本题给出的两个特解，应该足以解出v和φ值。
由一般的波动方程y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕
（★说明：如果我们狭义地理解为波源就在坐标原点的话，题目给出特解是不存在的——因为波向?x方向传播——所以，此处的波源不在原点。同学们自己理解：由于初相φ的任意性，上面的波动方程对波源不在原点的情形也是适用的。）
参照简谐运动的位移方程和速度方程的关系，可以得出上面波动方程所对应质点的速度（复变函数）
v = ?ωAsin〔ω（t - ）+ φ〕 代t = 2.0s时P的特解，有——
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yP = 6cos〔6π（2 - ＞ 0
即 6π（2 -
12v12v）+ φ〕= 3 ，vP = ?36πsin〔6π（2 -
12v）+ φ〕
）+ φ = 2k1π - ①
?3代t = 2.0s时Q的特解，有—— yQ = 6cos〔6π（2 - ＜ 0
即 6π（2 -
?22）+ φ = 2k2π + ②
2v2222）+ φ〕= 0 ，vQ = ?36πsin〔6π（2 - ）+ φ〕vv又由于 AB = 22 ? 12 = 10 ＜λ ，故k1 = k2 。解①②两式易得 v = ?72cm/s ， φ=
2?4?（或?） 33x2?2?）+ 〕，且波长λ= v = 24cm 。 723?所以波动方程为：y = 6cos〔6π（t + 当t = 0时， y = 6cos（
?12x +
2?），可3以描出y-x图象为——
答案：波动方程为y = 6cos〔6π（t +
x2?）+ 〕，t = 0723时的波形图如图22所示。
相关变换：同一媒质中有甲、
乙两列平面简谐波，波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相向传播，波长为8m ，波传播方向上A、B两点相距20m ，甲波在A处为波峰时，乙波在B处位相为? ，求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。
解：因为不知道甲、乙两波源的位置，设它们分别在S1和S2两点，距A、B分别为a和b ，如图23所示。
它们在A、B之间P点（坐标为x）形成的振动分别为——
y甲 = Acosω（t - a?x）= Acos〔ωt ? ?（a + x）〕
v4?2y乙 = Acosω（t ? 20?b?x）= Acos〔ωt ? ?（20 + b ? x）〕
v4这也就是两波的波动方程（注意：由于两式中a、b、x均是纯数，故乙波的速度矢量性也没有表达）
当甲波在①
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A处（x = 0）为波峰时，有 ωt =
a?4
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