二次函数的图象和性质——对称性
[
学
习
目
标].能说出奇函数和偶函数的定义.会判断具体函数的奇偶性.会分析二次函数图象的对称性.能求一个二次函数在闭区间上的最值.
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函数=的图象关于原点对称,=的图象关于轴对称. [预习导引] .函数的奇偶性
()如果对一切使()有定义的,(-)也有定义,并且(-)=()成立,则称()为偶函数; ()如果对一切使()有定义的,(-)也有定义,并且(-)=-()成立,则称()为奇函数. .二次函数图象的对称性
()二次函数()=++(≠)的图象的对称轴是直线=-;
()如果函数()对任意的都有(+)=(-),那么()的图象关于直线=对称.
要点一函数奇偶性的判断 例判断下列函数的奇偶性: ()()=+; ()()=++-; ()()=+; ()()=;
()()=+.
解()函数定义域为,且(-)=(-)+(-)=--=-(+)=-(),所以该函数是奇函数; ()函数定义域为,且(-)=-++--=-++=(),所以该函数是偶函数; ()函数定义域是{≥},不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数; ()函数定义域是{≠-},不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数; ()要使函数有意义,需满足解得=±,即函数的定义域是{,-},这时()=. 所以(-)=(),(-)=-(),因此该函数既是奇函数又是偶函数. 规律方法.判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:
()定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断(-)是否等于±(),或判断(-)±()是否等于,从而确定奇偶性.注意当解析式中含有参数时,要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定.
()图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于轴对称,则函数为偶函数.
()还有如下性质可判定函数奇偶性:
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用以上结论时要注意各函数的定义域)
.判断函数奇偶性前,不宜盲目化简函数解析式,若必须化简,要在定义域的限制之下进行,否则很容易影响判断,得到错误结果. 跟踪演练判断下列函数的奇偶性: ()()=; ()()=; ()()=(-).
解()函数定义域为, 且(-)===-().
故该函数是奇函数;
()函数定义域为{≠±},关于原点对称,且(-)===().故()是偶函数. ()函数定义域是{≥-},不关于原点对称,所以是非奇非偶函数. 要点二函数奇偶性的简单应用
例()设()是定义在上的奇函数,当≤时,()=-,则()等于() .-.-..
()若函数()=++是奇函数,则实数=. 答案()()
解析()因为当≤时,()=-, 所以(-)=×(-)-(-)=. 又()是奇函数, 所以()=-(-)=-,选. ()方法一因为()是奇函数, 所以(-)=-()对任意∈都成立, 即--+=---对任意∈都成立. 所以=.
方法二因为()是奇函数且在=处有定义. 必有()=,即+×+=,解得=.
规律方法.利用奇偶性求值时,主要根据()与(-)的关系将未知转化为已知求解,若需要借助解析式求值,代入自变量值时,该自变量值必须在该解析式对应的区间上,否则不能代入求值,而应转化.
.已知函数是奇函数或偶函数,求解析式中参数值时,通常有两种方法:一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解,二是采用特殊值法,尤其是在=处有定义的奇函数,还可根据()=求解.