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空间位置关系的判断与证明
模块框架
高考要求
空间线、面的位置关系 要求层次 B 重难点 ① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定． 空间中的线面关系 公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A . . .z
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. 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ◆如果一个平面的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ◆如果一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
知识内容
1．集合的语言：
我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A在直线l上，记作：A?l；点A不在直线l上，记作A?l； 点A在平面?，记作：A??；点A不在平面?，记作A??； 直线l在平面?（即直线上每一个点都在平面?），记作l??； 直线l不在平面?（即直线上存在不在平面?的点），记作l??； 直线l和m相交于点A，记作lm?{A}，简记为lm?A；
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平面?与平面?相交于直线a，记作???a． 2．平面的三个公理：
⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所
有的点都在这个平面． 图形语言表述：如右图：
AB
符号语言表述：A?l,B?l,A??,B???l??
⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，
也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，
AB?l
符号语言表述：A,B,C三点不共线?有且只有一个平面?， 使A??,B??,C??．
⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：
?C?aA?
符号语言表述：A???????a,A?a．
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．
3．平面基本性质的推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面，那么我们说它们共面．
<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一
个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面．
2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们．
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空间位置关系的判断与证明
