第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
振
幅
周期 频率 相位 初相
y=Asin(ωx+φ)
T=
(A>0,ω>0
f=T=
1
A
),
x∈
[0,+∞)
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
x
ωx+φ
y=Asin(ωx+0
A 0 -A 0
φ)
3.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤
1
图3-20-1
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是 . 2.[教材改编] 某函数的图像向右平移2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是πy=sin(??+4),则原函数的解析式是 . 3.[教材改编] 函数y=cos(2??-2)的周期为 ,单调递增区间为 . 4.[教材改编] 已知简谐运动f(x)=2sin运动的初相φ为 .
题组二 常错题
◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.
5.为得到函数y=cos(2??+)的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向 平移 3个单位长度.
6.设ω>0,若函数f(x)=2sin ωx在区间[-是 .
1
π2
π
π
ππx+φ(|??|<2)的图像经过点(0,1),则该简谐3
π
,2]上单调递增,则ω的取值范围
π
2
7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f(8+??)=f(8-??),且f(8)=-3,则实数
πππ
m= .
图3-20-2
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<2的部分图像如图3-20-2所示,则
π
φ= .
探究点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换
例1 (1)将函数f(x)=sin(2??+4)的图像沿x轴向左平移8个单位长度后所得图像对应的函数解析式为 ( ) π
π
A.y=cos 2x B.y=-cos 2x C.y=sin(2??+3π8) D.y=sin(2??-) 8ππ(2)若由函数y=sin(2??+)的图像变换得到y=sin
2
π
??π2
+3的图像,则可以通过以下两个步
骤完成:第一步,把y=sin2x+2图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变;第二步,把所得图像沿x轴 ( ) A.向右平移个单位长度
3π
B.向右平移12个单位长度 C.向左平移个单位长度
3π
5π
D.向左平移12个单位长度
5π
3
[总结反思] 由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是
|??|
??(ω>0)个单位
长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于
ωx加减多少值.
变式题 (1)[2018·江西八所重点中学联考] 将函数y=sinx-π
π6
的图像上所有的点向右平
移4个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像对应的函数解析式为 ( ) A.y=sin(2??-C.y=sin(2-??5π
B.y=sin(+) ) 12212
??5π24
??π
5π
) D.y=sin(2-12
)
( )
(2)为了得到函数y=sin 3x的图像,可以将y=cos 3x的图像 A.向右平移6个单位长度 B.向左平移6个单位长度 C.向右平移2个单位长度 D.向左平移个单位长度 3ππππ探究点二 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式
例2 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,|θ|<π)的部分图像如图3-20-3所示,将函数
y=f(x)的图像向右平移4个单位长度得到函数y=g(x)的图像,则函数g(x)的解析式为
( )
π
π
A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2sin(2??+8) C.g(x)=2sin(2??+) D.g(x)=2sin(2??-) 44
π
π
图3-20-3
(2)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的部分图像如图3-20-4所示,则
φ= .
4
图3-20-4
[总结反思] 利用图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:
(1)根据最大值或最小值求出A的值. (2)根据周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
图3-20-5
变式题 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-20-5所示,且Aπ2
,1,B(π,-1),则φ的值为 .
探究点三 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
例3 [2018·湖北八市联考] 函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的单调递减区间是[
5π12
π2
在它的某一个周期内
,
11π121
].将y=f(x)的图像先向左平移个单位长度,再将所得图像上所
4
π
有点的横坐标变为原来的2(纵坐标不变),所得到的图像对应的函数记为g(x). (1)求g(x)的解析式;
(2)求g(x)在区间[0,4]上的最大值和最小值.
π
5
通用版高考数学大一轮复习第20讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用学案理新人教A版
