[基础达标]
1.给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆； ②零向量没有方向；
③空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是__________． 答案：3
→→→→2.化简：(AB－CD)－(AC－BD)＝__________． 解析：法一：将向量减法转化为向量加法进行化简．
→→→→→→→→→→→→→→→(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋→→→
CA)＝AD＋DA＝0.
→→→→→→
法二：利用AB－AC＝CB，DC－DB＝BC进行化简． →→→→→→→→→→→→→→
(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.
→→→
法三：利用MN＝ON－OM的关系进行化简． 设O为平面内任意一点，则有 →→→→→→→→→→→→→→(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋→→→→→→→→→→
(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.
答案：0
3.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则下列命题中正确的共有________个． →→→→
①OA＋OD与OB′＋OC′是一对相反向量； →→→→
②OB－OC与OA′－OD′是一对相反向量；
→→→→
③OA′－OA与OC－OC′是一对相反向量； →→→→→→→→
④OA＋OB＋OC＋OD与OA′＋OB′＋OC′＋OD′是一对相反向量．
→→→→→→
解析：如图，对于①，OA＋OD＝C′O＋B′O＝－(OB′＋OC′)，故①正确；
→→→→→→→→
对于②，OB－OC＝CB，OA′－OD′＝D′A′，因CB＝DA，故②不正确；
→→→→→→→→
对于③，OA′－OA＝AA′，OC－OC′＝C′C，因AA′＝－C′C，故③正确；
→→→→→→→→
对于④，OA＋OB＋OC＋OD＝C′O＋D′O＋A′O＋B′O
→→→→
＝－(OA′＋OB′＋OC′＋OD′)，故④正确． 答案：3
4.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A→1B1＝a，→→→
A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M为相反向量的是________．(填序号)
11
①－a＋b＋c；
2211
②a＋b＋c； 22
第 1 页
11
③a－b－c； 2211
④－a－b＋c.
22
111→→→→1→→
解析：因为B1M＝B1B＋BM＝A1A＋(BA＋BC)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，所以与
2222
11→
B1M为相反向量的是a－b－c.
22
答案：③
→→→5.四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则
→
OE＝________(用a，b，c表示)．
解析：如图所示：
由三角形法则，得 →→→
AB＝OB－OA＝b－a， →→→
BC＝OC－OB＝c－b，
→1→1
所以BD＝BC＝(c－b)，
22
→→→11
AD＝AB＋BD＝b＋c－a，
22
→1→111故AE＝AD＝b＋c－a，
2442
→→→111所以OE＝OA＋AE＝a＋b＋c.
244
111答案：a＋b＋c
244
→→→6.已知点G是正方形ABCD的中心，P是正方形ABCD所在平面外一点，则PA＋PB＋PC
→
＋PD等于________．
→→→→→→→→→→→
解析：PA＋PC＝2PG，PB＋PD＝2PG，所以PA＋PB＋PC＋PD＝4PG.
→
答案：4PG
→→→→7.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则向量D1B可用a，
b，c表示为__________．
→→→→→→→→→→→
解析：如图，D1B＝－BD1＝－(BA＋BC＋BB1)＝AB－BC－BB1＝AB－AD－AA1＝a－b－c.
答案：a－b－c 8.
→→
如图，四棱柱的上底面ABCD中，AB＝DC，下列向量相等的一组是__________(填序号)．
→→→→→→→→①AD与CB；②OA与DC；③AC与DB；④DO与OB.
→→→→
解析：∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|，且AB∥DC.即四边形ABCD为平行四边形，由平行四
→→
边形的性质知DO＝OB.
第 2 页
答案：④
9.
如图，在空间四边形A－BCD中，点M、G分别是BC、CD的中点．
→1→→
化简：(1)AB＋(BC＋BD)；
2
→1→→(2)AG－(AB＋AC)．
2
→→→→
解：(1)原式＝AB＋BM＋MG＝AG；
→→→1→→
(2)原式＝AB＋BM＋MG－(AB＋AC)
2
→→1→→→→→→＝BM＋MG＋(AB－AC)＝BM＋MG＋MB＝MG.
2
10.已知四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点，化简下列各式：
1→→→→1→1→
(1)AG＋BE＋CA；(2)(AB＋AC－AD)．
322
解：
→1→
(1)如图所示，由G是△BCD的重心知，GE＝BE.又E、F为中点，
3
11→→AC，CA＝EF. 22
→1→1→→→→→∴AG＋BE＋CA＝AG＋GE＋EF＝AF.
32∴EF
(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知
1→→→1→→(AB＋AC)＝AH，AD＝AF， 221→→→→→→∴(AB＋AC－AD)＝AH－AF＝FH. 2
[能力提升]
1
如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，
3
2→→→→
DF＝DD1，若EF＝x AB＋y AD＋z AA1，则x＋y＋z＝__________．
3
解析：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， →→→有AA1＝BB1＝CC1，
→→→→→→→于是EF＝AF－AE＝(AD＋DF)－(AB＋BE)
→→2→1→＝－AB＋AD＋DD1－BB1
33
→→1→＝－AB＋AD＋AA1，
3
→→→→又EF＝xAB＋yAD＋zAA1，
11
∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
331.
第 3 页
1答案： 3
2.已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD
→→→→→→→→→→
边上的点，若AE＝λAB，AF＝λAD，CM＝μCB，CN＝μCD，则向量EF与MN的关系为________．
→→→→→→→→→→→
解析：AE－AF＝λAB－λAD＝λDB，即FE＝λDB，同理NM＝μDB，因为μDB∥λDB，所→→→→→→→→以FE∥NM，即EF∥MN.又λ与μ不一定相等，故|MN|不一定等于|EF|，所以EF∥MN.
→→
答案：EF∥MN
3.已知：a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，求x，y的值．
解：∵a∥b，且a≠0，∴b＝λa， ∴(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp.
x＋182y
又∵m，n，p不共面，∴＝＝，∴x＝－13，y＝8.
3－2－4
4.(创新题)已知六面体ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
1→→2→
(1)化简AA′＋BC＋AB，并在图中标出其结果；
23
→3→→→→→
(2)设M是底面ABCD的中心，BN＝BC′.设MN＝αAB＋βAD＋γAA′，试求α、β、γ
4
的值．
解：
1→→→→→→
(1)如图，取AA′的中点为E，则AA′＝EA′，又BC＝A′D′，AB＝D′C′，取F为D′C′的一
2
1→→2→→→2→→2→→→→
个三等分点使D′F＝D′C′，则D′F＝AB，所以AA′＋BC＋AB＝EA′＋A′D′＋D′F＝EF(说明：
3323表示法不惟一)．
1→→3→→→→→1→3→1→→3→→
(2)MN＝MB＋BN＝DB＋BC′＝(DA＋AB)＋(BC＋CC′)＝(－AD＋AB)＋(AD＋AA′)
242424
1→1→3→113＝AB＋AD＋AA′，所以α＝，β＝，γ＝. 244244
第 4 页
2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第3章3.1.1 空间向量及其线性运算
