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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。 1.设z?1?i?2i,则|z|? 1?i
2A.0 B.
1 2
C.1
D.2
2.已知集合A?xx?x?2?0,则eRA? A.x?1?x?2 C.x|x??1?Ux|x?2?
????
B.x?1?x?2 D.x|x??1?Ux|x?2?
????
??3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.设Sn为等差数列?an?的前n项和,若3S3?S2?S4,a1?2,则a5? A.?12
B.?10
C.10
D.12
325.设函数f(x)?x?(a?1)x?ax,若f(x)为奇函数,则曲线y?f(x)在点(0,0)处的切线方程为
A.y??2x
B.y??x
C.y?2x
D.y?x
6.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB?
uuurr1uuur3uuuA.AB?AC
44
r3uuur1uuuB.AB?AC
44
r1uuur3uuuC.AB?AC
44
r3uuur1uuuD.AB?AC
447.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为
A.217
2
B.25
C.3 D.2
uuuuruuur28.设抛物线C:y=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则FM?FN=
3A.5
B.6
C.7
D.8
?ex,x?0,g(x)?f(x)?x?a.若g(x)存在2个零点,则a的取值围是 9.已知函数f(x)???lnx,x?0,A.[–1,0)
B.[0,+∞)
C.[–1,+∞)
D.[1,+∞)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为
直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为p1,p2,p3,则
A.p1=p2 C.p2=p3
B.p1=p3 D.p1=p2+p3
x211.已知双曲线C:?y2?1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分
3别为M、N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= A.
3 2 B.3 C.23 D.4
12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最
大值为 A.33 4 B.23 3 C.32 4 D.3 2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
?x?2y?2?0?13.若x,y满足约束条件?x?y?1?0,则z?3x?2y的最大值为_____________.
?y?0?14.记Sn为数列?an?的前n项和,若Sn?2an?1,则S6?_____________.
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________
种.(用数字填写答案)
16.已知函数f?x??2sinx?sin2x,则f?x?的最小值是_____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:60分。 17.(12分)
在平面四边形ABCD中,?ADC?90o,?A?45o,AB?2,BD?5. (1)求cos?ADB;
(2)若DC?22,求BC. 18.(12分)
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF?BF. (1)证明:平面PEF?平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.(12分)
x2?y2?1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). 设椭圆C:2(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:?OMA??OMB. 20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0?p?1),且各件产品是否为不合格品相互独立.学科&网
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为
p的值.已知每
件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.学.科网
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 21.(12分)
已知函数f(x)?1?x?alnx. x(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:
f?x1??f?x2??a?2.
x1?x2(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4–4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y?k|x|?2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐
标系,曲线C22的极坐标方程为??2?cos??3?0. (1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 23.[选修4–5:不等式选讲](10分)
已知f(x)?|x?1|?|ax?1|.
(1)当a?1时,求不等式f(x)?1的解集;
(2)若x?(0,1)时不等式f(x)?x成立,求a的取值围 绝密★启用前
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理科数学答案
参考答案:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C
B
A
B
D
A
B
D
C
A
13.6 14.?63 15.16 16.?332 17.(12分)
解:(1)在△ABD中,由正弦定理得
BDABsin?A?sin?ADB. 由题设知,
522sin45??sin?ADB,所以sin?ADB?5. 由题设知,?ADB?90?,所以cos?ADB?1?225?235. (2)由题设及(1)知,cos?BDC?sin?ADB?25. 在△BCD中,由余弦定理得
BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC
11 12 B
A
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