所以
.
练习、求值：
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：1?1,111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaa将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1?111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2) （分组） aaa(3n?1)n(3n?1)n当a＝1时，Sn?n?＝ （分组求和）
226
1n(3n?1)na?a1?n(3n?1)na?当a?1时，Sn?＝ ?1a?1221?a1?[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
32解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k
∴ Sn??k(k?1)(2k?1)＝?(2kk?1k?1nn3?3k2?k)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝2?k?13nk?3?k??k （分组）
32k?1k?133222nn＝2(1?2?????n)?3(1?2?????n)?(1?2?????n)
n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)?? ＝ （分组求和） 222n(n?1)2(n?2) ＝
2
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
sin1????tan(n?1)?tann（1）an?f(n?1)?f(n) （2） ??cosncos(n?1)(2n)2111111?1?(?) ??（3）an? （4）an?(2n?1)(2n?1)22n?12n?1n(n?1)nn?1（5）an?1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n?212(n?1)?n1111?n??n??,则S?1? nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n(6) an?（7）an?1111?(?)
(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C1n?n?1?n?1?n
（8）an?
7
[例9] 求数列
11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n项和.
解：设an?n?n?11??n?1?n （裂项）
1则 Sn?1????? （裂项求和）
1?22?3n?n?1 ＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n) ＝n?1?1 [例10] 在数列{a12nn}中，an?n?1?n?1?????n?1，又b2n?a，求数列{bn}的前n项的和. n?an?1解： ∵ a1n?n?1?2n?1?????nn?1?n2 ∴ b211n?nn?1?8(n?n?1) （裂项）2?2∴ 数列{bn}的前n项和
S1111n?8[(1?2)?(2?3)?(3?1)?????(14n?1n?1)] （裂项求和） ＝8(1?1n?1) ＝
8nn?1 [例11] 求证：111cos1?cos0?cos1??cos1?cos2??????cos88?cos89??sin21? 解：设S?1cos0?cos1??1cos1?cos2??????1cos88?cos89? ∵sin1?cosn?cos(n?1)??tan(n?1)??tann? （裂项） ∴S?111cos0?cos1??cos1?cos2??????cos88?cos89? （裂项求和） ＝1sin1?{(tan1??tan0?)?(tan2??tan1?)?(tan3??tan2?)?[tan89??tan88?]} ＝
1sin1?(tan89?tan0)＝sin1??cot1?＝cos1???1sin21? ∴ 原等式成立
8
答案：
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ cosn??cos(180?n) （找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
[例13] 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.
解：设S2002＝a1?a2?a3?????a2002
由a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an可得
???a4??1,a5??3,a6??2,
a7?1,a8?3,a9?2,a10??1,a11??3,a12??2,
……
a6k?1?1,a6k?2?3,a6k?3?2,a6k?4??1,a6k?5??3,a6k?6??2
∵ a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4?a6k?5?a6k?6?0 （找特殊性质项） ∴ S2002＝a1?a2?a3?????a2002 （合并求和）
9
＝(a1?a2?a3????a6)?(a7?a8????a12)?????(a6k?1?a6k?2?????a6k?6)
?????(a1993?a1994?????a1998)?a1999?a2000?a2001?a2002
＝a1999?a2000?a2001?a2002 ＝a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4 ＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.
解：设Sn?log3a1?log3a2?????log3a10
由等比数列的性质 m?n?p?q?aman?apaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaM?logaN?logaM?N 得
Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6) （合并求和）
＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6) ＝log39?log39?????log39 ＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15] 求1?11?111?????111??1之和. ????n个1解：由于111??????1?k个111?999???9?(10k?1) （找通项及特征） ?????99k个1n个1∴ 1?11?111?????111??1 ????＝
11111(10?1)?(102?1)?(103?1)?????(10n?1) （分组求和） 9999111(10?102?103?????10n)?(1??1??1??????1) ????99n个110
＝
(完整版)数列求和常见的7种方法
