第二十六章、反比例函数
知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质 k(1)定义:形如y=(k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的x取值范围是非零的一切实数. (2)形式:反比例函数有以下2种基本形式: k①y=;②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数,且k≠0) x例:函数y=3xm+1,当m=-2时,则该函数是反比例函数. 1.反比例函数的概念 k的符号 k>0 图象 经过象限 图象经过第一、三象限 (x、y同号) 图象经过第二、四象限 (x、y异号) y随x变化的情况 每个象限内,函数y的值随x的增大而减小. 2.反比例函数的图象和性质 k<0 每个象限内,函数y的值随x的增大而增大. (1)由两条曲线组成,叫做双曲线; 3.反比例函数的图象特征 (2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交; (3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线. 只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k即可.例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是y=3/x 4.待定系数法 知识点二 :反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 k(1)意义:从反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线x与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. 1
5.系数k的几何意义
(2)常见的面积类型: 失分点警示 已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则k<0. 例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比例函数解析式为:y?33或y?? xx(1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解. (2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解 (3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. 6.与一次函(4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方数的综合 的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围. 涉及与面积有关的横、纵坐标转化为图形的面积往往可分割转化②也要注意系数k的几问题时,①要善于把点的的边长,对于不好直接求为较好求的三角形面积;何意义. 例:如图所示,三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为:S△AOC=S△OPE>S△BOD 2
知识点三:反比例函数的实际应用 (1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系; 7 .一般步骤 (2设出函数表达式; (3)依题意求解函数表达式; (4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
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人教版数学九年级下册知识点总结
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