外接球内切球问题
1 球与柱体
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体
发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题
DD1的例 1 棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，
中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）A．
2 B．1 2 C．1?2 2D．2
1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的
棱长为a,b,c,其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正
la2?b2?c2. 方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R??22例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空10π
间部分的体积为( )A.
3
B.4π
8πC. 37πD. 3
1
外接球内切球问题
1.3 球与正棱柱
例3 正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .
2 球与锥体
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体
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外接球内切球问题
R?r?2a266222a，R?r?CE=，a,r?a.这个解法是通过利用两心合一的思路，解得：R?33412建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.
例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为 ( ) A.43?263?262626 B. 2+ C. 4+ D.
3333球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]
2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥
球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形
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外接球内切球问题
例5 在正三棱锥S?ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM?MN,若侧棱SA?23,则正
2.3 球与正棱锥
球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根
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外接球内切球问题
据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
例6 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A．? B.
4?? C. 4? D.
33接球的球心,则R?SC. 2 例7 矩形ABCD中，AB?4,BC?3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B?AC?D,则四面体
ABCD的外接球的体积是( )
A.
125125125125
? B.? C.? D.? 12963
3 球与球
对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化
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外接球内切球问题
平面问题求解.
4 球与几何体的各条棱相切
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位
置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：r??2a. 4例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四
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外接球内切球问题
综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通
过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.
1. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A．
33333 B． C． D． 答案 B
341242. 直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的
表面积等于 。解:在?ABC中AB?AC?2,?BAC?120?,可得BC?23,由正弦定理,
可得?ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O?，球心为O，在RT?OBO?中，易得球半径R?故此球的表为4?R?20?.
5，23．正三棱柱ABC?A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为?，则正三棱柱的体积为 ．答案 8
4.表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
22212?答案 A ? B．? C．? D．33337
外接球内切球问题
3a2?23知， 【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8?4a?1，则此球的直径为2，故选A。
325.已知正方体外接球的体积是?，那么正方体的棱长等于（ ）
3A.22 B.
234243 C. D.答案 D 3336.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9答案 C
7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
94?，底面周长为3，则这个球的体积为 ．答案 838.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面
积为 ．答案 14π
9.（一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 2?42
10.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P?ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．
P 答案 67
11. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 C D B 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
E 三角形(正四面体的截面)的面积是 . A F 答案 2
12.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 A．3? B．2?
C．
（ ）
16? 3D．以上都不对 答案C
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13.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
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1 ．已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上,?ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,
且SC?2;则此棱锥的体积为 （ ）
A．? B．2π C．4π
D．?答案C
A．832 6B．3 6C．2 3D．2 225已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方形.若PA=26,
则△OAB的面积为______________.
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外接球内切球问题
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外接球内切球题答案
